미분과 적분 개념좀 가르쳐주세요

미분과 적분이 그냥 되는게 아니라, 극한에서부터 출발하는거에요.

 

 

미분은 원래 평균변화량에서 나온건데요.

 

 

함수에서 두 변수에 해당하는 함수값이 평균적으로 얼마 변했냐를 뜻하는겁니다.

 

 

이때 평균변화량은 두 점사이의 기울기가 되지요.

 

 

그런데 그 두 변수의 차이를 0으로 극한을 취하게 되면

 

두 점이 점점 가까워지다가 한 점이 됩니다.

 

그때 그 점에서 함수의 그래프와 접하는 직선의 기울기가 미분계수가 되고,

 

 

이 미분계수는 특정한 변수값에서 주어진것이라

 

미분계수를 함수로 표현한것이 도함수입니다.

 

즉 도함수에 변수를 대입하면 그 점에서의 미분계수가 되죠.

 

 

적분은 미분과의 반대개념입니다.

 

적분은 무한급수로도 표현될 수 있는데요.

 

 

특정 구간을 n등분해서 각각의 직사각형의 넓이를 구해서 더하는데

 

 

여기서 n이 무한히 작아진다면 직사각형 넓이의 합이

 

실제 넓이에 근접해서 같아지는 순간이 있겠죠.

 

 

이것이 적분입니다.

수학의 좀 어려워지는 부분.... 원래 물리에 관련되어 시작되었다고 할수 있습니다.

 

글쎄, 이 답변이 이해하기 쉽지는 않겠지만....

 

원래 시간과 관련한 운동문제에서 출발한것이라고 할수 있는데,

 

같은 속도로 움직이는 경우에는 큰 문제가 되지 않습니다. 왜냐하면, 시간에 관련되서 변화되는 것이 없기 때문입니다.

 

 문제는 시간에 따라 속도가 변하는 경우에 이것을 어떻게 이해하느냐? 의 문제였습니다.

 

그리고, 그 해답이 속도의 미분으로 주어지는 '가속도'라는 것입니다.

 

사실은 미분이란  미분되는 변수를  1 차원줄이는,즉 차원을 1개 없애는 계산입니다.

 

 더 어렵죠?  더구나, 차원이라? 

 

미적분을 개척한 사람중 뉴턴은 물리학의 중심이었던, 역학의 연구에서 이 개념을 생각한 것인데,  처음 배우는때 , 그 수학적인 부분만 가르치므로, 별로 쉽지 않은 개념입니다. 실제로 미적분이 그렇게 쉬우면, 수학을 공부하는 것이 별로 값어치가 없는 일일지도 모르니 좀 참고 애써서 그 고비를 넘는 것이 '내 머리를 더 좋게 만드는'  값있는 공부입니다

 

 뉴턴은 위에서 말한 속도의 변화에 대해서 변하는 속도를 표시하는 방법을 발견하는데, 이것은 '아주 짧은 시간' 을 생각한 것입니다. 속도가 시간에 따라  변하는 경우,

 아주 짧아서 거의 0 이라고 생각하는 시간을 생각하고, 그 짧은 시간동안의 속도의 변화를 '변화율의 시간적 극한'으로 해서 표시하는법을 찾아냈고, 그 계산법이 곧 미분법입니다

 

그런데, 그 결과는? 일단,  미분변수가 1 차원 줄어든다는 것입니다. 그리고 계수가 변하는데, 변하는 계수는 미분변수의 차원과 함수관계가 있습니다. 예를 들어 2차면, 계수는 2배, 3차면, 3배....물론 이것은 다항함수라고 부르는 정수차 함수의 합으로 표시되는 것만을 말합니다. 예를 들어 2차식,3차식등으로 부르는 것들이지요.

 관련해서 복잡한 것들이 있지만, 일단 쉽게, 미분변수가 1 차원 줄어드는 것이 미분입니다. 그리고, 그것의 주된 응용은, 움직인 거리와 속도와 가속도입니다.  즉 시간과 관련된것이지요.

 

움직인 거리가 시간의 함수로 주어지면, 그식의 미지수에 어떤 값을 주었을때, 그 결과는 시간차원이 없는,  그냥 거리 몇m 가 됩니다.  예를 들어 

 거리(m) =  3 t^2 + 2t +3     시간이 3 이라면, 거리는 36(m)

 

 이 식을  시간에 대하여 미분하면,  그 식에서 미지수에 어떤 값을 주었을때, 나오는 답은

몇m/초... 속도인데 , 단위표시를 잘보면, 시간차원이 하나 줄어들어서 -1 차원 을로 되는 것입니다.

 속도 = 6t + 2.... t가 1 차원씩 줄어들었습니다. 

 역시 시간이 3 이라면?  그때의 속도는 20(m/s) -   이것은 그 '순간' 의 속도입니다.

 

 다시 '시간에 대해 미분'하면? 그 식의 미지수에 어떤값을 넣었을때 결과는 ? 그 시간에서의 가속도로 표시되고, 시간차원이 다시 1차원 줄어서 그 단위가 m/(초의 제곱) 이 되지요?

 가속도= 6 (m/s^2)

 

 이것이 미분의 기본개념입니다.  만약 위의 가속도를 다시 시간에 대해 미분하면?

 글쎄, 그 식의 미분변수가 남아 있는지 모르겠지만, 어떤 상수가 되거나 해서 의미없는 것이 되던가,  하여간 실제로는  의미가 없는 -수학적으로만 의미가 있는 -어떤것이 되겠지요.

 

 수학은 적어도 기초부분은 이렇게-미적분도 수학의 기초입니다.- 실제 우리주위의 어떤 현상과 관련된것을 식으로 표시- 이런것을 '추상화'라고 합니다. -하는 것으로 시작된것입니다. 그러므로, 그런 시작때의 현상을 가지고 생각하는 것이 수학을 친근하고, 쉽게 하는 한 방법이겠지요.

 

 미분이 위와 같이 '차원을 1 개씩 줄이는 '것인데, 적분은 그 역입니다.

 

물론 시간에 대해서 생각하면, 위의 것을 거꾸로 한 것입니다만. 실제 그응용이 좀 다릅니다.

예를 들어 초등학교에서 배운 삼각형의 공식은 이 적분의 결과로 표시됩니다. 다시말해서 적분은 의외로 쉽게 그 결과를 쓰고 있는 셈입니다.

 

 삼각형을 생각해 봅시다.   삼각형의 빗변을  그래프로 표시하면, 1 차식으로 표시된다는 것을 다시 생각합니다.  빗변의 시작점-높이가 0인점을 x,y그래프의 원점에 놓읍시다.

 

 쉽게 각도는 45도인 삼각형입니다.  내가 그림을 그리기는 쉽지 않으므로 직접 한번 그려봐도 되고, 머리속에서 그려도 됩니다.

 

이 삼각형은 x축이나, y축을 자르지 않는 1차식이므로, 그냥  그 식은 y=x로 표시됩니다.

이 식을 'x에 대해서 적분'한다면 그 뜻은 무엇일까요?

 

 위에서 미분은 차원을 1개 줄인다고 했고, 적분은 그것의 '거꾸로'라고 했으니, 차원을 1개 늘이는 것이겠지요?

 

 x에 대해서 차원을 1 개 늘인다?   이말은 선의 길이에서 차원을 1개 늘이면, '넓이'가 된다는 것을 생각하면, 아! 그것은 넓이를 나타내는 것이구나! 하고 알게 되겠지요?

 

 즉 길이를 나타내는 위의 1차식을 어느 길이에 대해서 적분하면, 그 식은 그 점에서의 넓이를 뜻하는 식이 되고, 어떤 값에서의 식의 결과는 그 점에서의 넓이가 된다는 것입니다.

 

위의 y=x의 식을 x에 대해서 적분한 y= (1/2 ) x^2 의 식이 곧 그 x점에서의 넓이 값이 되는데, 식을 잘보세요. 앞의 계수 1/2 가 바로 삼각형공식에서도 나온것 아닙니까? 두식은 사실 같은 것이기 때문에 그렇습니다.

 단지 삼각형의 공식은 높이와 밑변이 주어지고, 두 값의 함수관계가 나타나지 않으므로, 식의 모습이 조금 다르지만, 높이와 밑변이 함수관계로 표시되면, 위와 같은 한개의 변수로 넓이가 결정되는 것이고, 이것은 닯은꼴의 삼각형의 넓이가 되는것입니다.

 

 넓이를 다시 그 넓이의 직각되는 길이- 이렇게 공간에서 서로 직각인 길이는 서로 차원이 다른 것입니다.- 로 적분하면, 그 넓이가 1 차원 길이가 늘어나서 부피가 되지요.

 

 고교에서 주된 응용이 위의 것입니다. 물론 대학에 가면, 특히 공업수학에서 어려운 부분을 공부하게 되겠으나, 기본은 위의 것이며, 이를 잘이해하고 착실히 '반복연습'해서 내것으로 만들어 두면, 두고두고, 자신의 머리를 발전시키는 밑거름이 될것입니다.

 

 '피할수 없다면, 즐겨라! ' 라는 것을 마음에 담고 부지런히 공부하면, 좋은 결과를 얻을수 있을 것입니다.