고등학교 수학에 기여한 과학자들 이름좀 알려주세요 급합니다

수학사랑이 괜찮네요^^

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라이프니쯔의 일화


수학에서 함수는 매우 큰 비중을 차지하고 있다. 그런데 '함수'라

는 말은 1694년 라이프니쯔(1646~1716)에 의하여 처음 수학에 도

입되었다고 알려져 있다. 그는 또 함수와 같이 연속적인 양에 대

한 수학과 확률과 같이 흩어져있는 양에 대한 수학 모두에 관심

을 갖고 연구를 하였는데 이렇게 두 방면에서 업적을 남긴 수학자

는 드물다고 한다. 또, 라이프니쯔가 만든 계산기는 파스칼의 것

보다 훨씬 뛰어난 것이다. 파스칼이 만든 계산기는 덧셈과 뺄셈

만 할 수 있지만 그가 만든 것은 곱셈, 나눗셈도 하고, 제곱근도

구할 수 있었던 것이다. 그런데 그가 발표한 수학의 대부분은 여

기저기 돌아다니면서 바람막이도 없는 덜컹거리는 마차에서 쓴

것이라고 한다. 그러면 그는 왜 그렇게 바쁘게 돌아다녔을까?라

이프니쯔는 여러 개의 생애를 살았다고도 할 수 있다. 수학 뿐만

이 아니라 법률학, 정치, 역사, 문학, 논리학, 형이상학 등에서도

업적을 남겼는데, 그 각각의 분야에서 보통 사람이 평생 한 것보

다 많은 성과를 남겼다고 평가받고 있다. 그러나 사실은 그는 보

다 많은 돈과 명예를 얻기 위하여 자신의 인생의 대부분을 보냈

다. 그는 자기에게 높은 급료를 주고 있는 왕후의 사생아를 위해

죽을 때까지 헌신하였다. 또 뛰어난 법률 지식을 이용하여 왕후

귀족의 재산을 늘려 나가는 일 따위에 몰두하였다. 남들이 넘보

기 힘들 정도로 수학적 재능을 가지고 있었는데도 불구하고 별로

가치없는 일에 그 재능을 낭비하고 말았다. 뉴턴은 상류계급에 들

어가려고 노골적으로 노력하였다고 전해진다. 또 평민 출신인 가

우스는 이미 사회적 지위를 확보한 사람들의 인정을 얻으려고 매

우 노력하였다고 한다. 대수학자중에 오직 아르키메데스만 결코

현혹되지 않았다. 만약 라이프니쯔가 세속적인 것을 추구하지 않

고 수학에만 몰두하였다면 그는 지금 알려져 있는 것보다 훨씬

더 많은 것을 우리에게 남겼을 것이다. 왕후 귀족을 쫒아 뛰어 다

녔던 그의 생애를 보면 한 사람의 최고의 수학적 천재가 핏기도

전에 시들어버린 비극적 삶을 볼 수가 있다.







뉴턴의 일화 1


만유 인력을 발견한 뉴턴에 대해서 다음과 같은 일화가 전해진

다. 친구인 스턱켈리 박사가 저녁을 같이 먹기로 하여 뉴턴을 찾

아 왔더니 식탁에는 이미 요리된 닭은 있는데 뉴턴은 외출중이었

다. 저녁 약속을 잊어버린 뉴턴은 몹시 늦게 들어왔고, 기다리던

스턱켈리 박사는 이미 닭을 모두 먹어 버렸다. 그런데 나중에 들

어온 뉴턴은 식탁에 앉아 그릇의 뚜껑을 열고 뼈만 남은 그릇을

보고 말했다. 아참, 우리가 이미 저녁을 먹었군. 평범한 사람이 이

런 일을 벌이게 되면 건망증이 심하다는 평을 듣고 끝나는 일이지

만 뉴턴의 경우에는 다르다. 그는 건망증이 심하다기보다는 집중

력이 강하다고 할 수 있을 것이다. 그는 한 번 생각에 빠지면 생각

이 꼬리에 꼬리를 물고 일어나 다른 것에는 아무 관심이 없었다

고 한다. 우리 주위에도 한 가지 일만 잘하는 사람을 종종 볼 수

있다. 보통 때는 없는 듯이 있다가 특별한 때가 오면, 예를 들어

춤을 출 때라든가, 수학 경시 대회라든가, 영화에 대하여 이야기

할 때라든가, 그럴 때마다 눈에서 빛이 나면서 적극적으로 자신

의 능력을 발휘하는 사람이 있다. 뉴턴도 바로 그런 사람이었던

것이다. 수학, 과학에 대한 생각을 시작하면 다른 것은 아무것도

보이지 않는 그런 집중력을 가진 사람이었다. 그리고 그의 이런

집중력이 바로 그의 위대한 업적의 원동력이었을 것이다. 그가 사

과 나무에서 사과가 떨어지는 것을 보고 만유 인력을 발견했다는

이야기는 아마도 이렇게 다른 사람은 그냥 지나쳐 버리는 어떤 현

상의 의미를 집중적으로 파고 들어 과학적으로 분석해 내는 능력

을 빗대어 생긴 이야기일 것이다.뉴턴은 그 시대의 수학자

들 사이에 알려진 다양한 어려운 문제 중 어느 것도 풀지 못한 것

이 없었다고 알려져 있는데 그와 비슷한 시기에 살았던 라이프니

쯔는 인류 역사상 뉴턴이 살았던 시대까지의 수학을 놓고 볼 때,

그가 이룩한 업적이 반 이상이다. 그가 수학에 관하여 이룬 업적

은 매우 훌륭하다.






가우스-선생님을 놀라게 한 계산의 천재


카알 프리드리히 가우스91777-1855)는 19세기 독일의 가장 훌륭한 수학자였습니다. 그는 정수론, 미분기하학, 통계학에 많은 공헌을 했습니다. 그는 또한 물리학과 천문학을 연구했으며, 케레스 소행성의 궤도를 정확하게 예측한 것으로도 유명합니다.
"내가 너희들 모두 조용히 하고 공부하라고 매일같이 매질을 해야겠니? 너희들은 내가 지금까지 가르친 아이들 중에서 제일 엉터리같은 녀석들이야. 하지만 내가 너희들 버릇을 고쳐 놓겠다." 그는 화난 목소리로 말을 계속했습니다. "그래, 오늘 너희들에게 과제를 하나 주겠다!"
교실 정면에서 자신만만하게 선 뷔트너 선생님을 학생 모두가 주목했습니다. 아무도 속삭이거나 미소를 짓지도 심지어는 옆의 학생을 바라보지도 못했습니다. 선생님이 화가 났을 때는 정말 대단했습니다. "과제는 이거다. 잘 들어." 뷔트너 선생님은 노려보며 말했습니다. "지금부터 1에서 100까지의 수를 모두 더해라. 끝나면 답안을 앞으로 가져와서 뒤집어 놓아라. 그리고 자리로 돌아가서 다른 사람이 끝낼 때까지 기다려라."
이 호랑이 선생님이 어려운 과제를 내준 것은 이번이 처음이 아니었습니다. 사실 선생님은 이 방면의 전문가였습니다. 그는 답을 알고 있거나 답을 구하기 위한 간단한 공식을 알고 있었습니다. 하지만 학생들에게는 몇 시간 동안 바쁘게 풀어야만 하는 문제였고, 그 사이 그는 쉴 수 있었습니다. 그는 자신이 독일 브라운슈바이크에서 가장 뛰어난 선생님 중의 하나라고 자부하고 있었습니다. 자기 생각에는 학생들이 지금보다는 훨씬 더 존경해야 한다고 느꼈습니다. 그러나 이번에는 이상한 일이 생겼습니다. 뷔트너 선생님이 돌아서서 자기 의자에 앉기도 전에 가우스가 자기 자리에서 걸어 나와 답안을 선생님 앞에 제출하였습니다.
"내 말을 거역하는 거냐?" 선생님이 말했습니다.
"아닙니다." 가우스가 대답했습니다. "다 풀었습니다."
뷔트너 선생님은 속으로 웃음이 났지만, 그 학생의 어리석음을 즉시 드러내게 하고 싶지는 않았습니다. 다른 학생들이 끝낼 때까지 기다린 다음 이 어리석은 10살 짜리 아이에게 창피를 주고 싶었습니다. 그는 자리에 앉아서 궁리를 했습니다. 한참 후에, 야곱이 힘들어하며 가우스의 답 위에 자기 것을 올려놓았습니다. 그리고 힘들어하는 표정으로 한스가 일어났으며 다른 아이들이 그 뒤를 따랐습니다. 학생 모두가 다 끝낼 때까지는 자리에 계속 앉아 있어야 한는 것을 알고 있었기 때문에 계산이 느린 몇몇 학생들은 순간을 모면하기 위해 그저 정답을 추측하고 있었습니다.
마침내 가우스에게 교훈을 줄 뷔트너 선생님의 기회가 돌아왔습니다. 가우스의 답안은 가장 밑에 있었습니다. 뷔트너 선생님은 가장 위에 있는 답안부터 뒤집으며, "틀렸어"라고 소리쳤습니다. 그 다음 답도 틀렸고, 계속 틀린 답이었습니다. 마침내 하나만 남았습니다. 그것은 불과 몇 초만에 자신만만하게 갖다 놓은 가우스의 답안이었습니다. 뷔트너 선생님이 천천히 가우스의 답안을 뒤집는 동안 반 아이들은 숨을 죽이고 바라보았습니다. 그 답안에는 놀랍게도 계산한 흔적은 하나도 없이 단 하나의 숫자 5,050만이 적혀 있었습니다. 그것은 정답이었습니다! 가우스가 어떻게 정답을 맞춘 것일까? 선생님은 놀라서 입을 다물었습니다. 선생님은 얼굴이 창백해졌고, "수업 끝"이라는 말 이외에는 한마디도 할 수 없었습니다. 그 날 저녁 귀가 길에, 가우스는 삼촌의 직물가게에 들렀습니다. 학교에서 있었던 일을 꼭 말하고 싶었습니다.
"정말 잘했다, 가우스." 삼촌이 창피를 당한 그 선생을 떠올리며 웃었습니다. "네가 자랑스럽다!" "고마워요, 아버지도 좋아하셨으면 좋겠어요." "글쎄다. 아버지를 너무 나쁘게 생각하지는 말아라. 네 아버지는 착하고 근면한 사람이다. 교육을 받은 적이 없어서 교육의 중요성을 이해하시지는 못하지만, 아마도 언젠가는 모든 아이들이 벽돌공이나 정원사가 되는 것은 아니라는 것을 아시게 될 거야. 네 엄마와 나는 네 아빠와는 달리 성장해서 다행이지. 엄마 얘기가 나왔으니 말인데, 이제 집에 가야 되지 않겠니?"
"그래요, 삼촌." 가우스가 말했습니다. "내일 뵈러 올 지도 모르겠어요."
"그런데, 가우스. 가기 전에 잠깐만! 그 문제는 어떻게 풀었니?"
"쉬웠어요." 가우스가 설명했습니다.
"1+100은 101, 2+99도 101, 3+98도 101이잖아요. 그래서 1에서 100까지의 숫자를 모두 더하면 합이 101인 수의 쌍이 전부 50개가 나와지요, 따라서 50곱하기 101이 정답이예요. 삼촌도 직접 해 보실 수 있어요!" 가우스 가족은 부유하지 않았습니다. 사실 가우스가 다니는 학교의 대부분 아이들과 비교해 보면 가우스는 매우 가난했습니다. 그러나, 종종 격려는 돈이나 화려한 옷보다 더 중요한 것이었는데, 그는 어머니로부터 항상 격려를 받았습니다. 그녀는 유머감각이 뛰어난 강한 여자였습니다. 그녀는 교육은 거의 받지 못했지만, 총명했고 자식들이 최선을 다하기를 원했습니다. 가우스는 숫자에 관한 특별한 재능을 타고났습니다. 세 살이 되기 전 어느날, 가우스는 아버지가 일꾼들의 품삯을 계산하는 것을 우연히 보았습니다. "아빠, 계산이 틀린 것 같아요." 가우스가 말했습니다.
아버지는 계산을 다시 살피고 나서, 아들의 말이 옳다는 것을 알았습니다. 어린 가우스가 암산을 했던 것입니다. 이후에 어른이 된 가우스는 자신은 말을 배우기 전에 이미 "셈" 즉 계산을 할 수 있었다고 간혹 농담을 하곤 했습니다. 그러나 이 농담은 아마도 맞는 말이었는지도 모릅니다.
가우스를 알고 있었던 사람들에게는 가우스가 천재라는 것이 분명하게 느껴졌습니다. 그러나 아버지는 그것을 받아들이지 않았고, 가우스가 학교에 가는 것을 허락하지 않았습니다. 다행히 어머니와 형은 교육이 중요하다는 것을 알고 있었습니다. 그리고 엄격한 뷔트너 선생님조차 가우스가 공부를 계속하게 도와주었습니다. 가우스가 선생님을 놀라게 한 몇 주 후 선생님은 가우스에게 선물로 그 당시 구할 수 있었던 것 중에 최고의 수학 교과서를 주었습니다. 그리고 자신이 가우스에게는 더 이상 가르칠 것이 없다는 것을 시인했습니다. 가우스에게는 개인 교사가 필요했습니다.
그 당시 젊은 수학자 요한 바르텔스가 브라운슈바이크에서 연구하고 있었습니다. 그는 불과 17세였지만, 뛰어나다고 인정받았습니다. 가우스와 바르텔스는 함께 공부하기 시작했고 수학에 관한 아이디어들을 서로 교환했습니다. 가우스에게는 매우 즐거운 시간이었습니다.
"가우스, 너를 만나고자하는 사람이 하나 있어." 어느날 바르텔스가 말했습니다.
"그럼, 소개시켜 줘." 가우스가 말했습니다.
"보통 사람이 아니야. 브룬스윅의 공작님이야."
"공작님이라고?" 가우스가 물었습니다. "장난하고 있지?"
"이번은 장난이 아니야. 어젯밤에 우리 식구들이 공작님 친구분들을 위한 파티에 초대되었는데, 공작님도 거기 계셨어." 바르텔스가 설명했습니다. "파티에 모인 사람들 중에 일부가 수학, 천문학, 그리고 다른 재미있는 주제에 관한 견해를 말하게 되었지. 그때 공작님도 대화에 참여하신 거야. 공작님은 누가 독일의 주도적인 사색가들인지 물었지."
"만들어 낸 이야기는 아니지?" 가우스가 의심스러워하며 물었습니다.
"아니야, 가우스. 정말이야. 공작님은 가능한 빨리 너를 만나고 싶어 하셔."
가우스는 14살에 수줍음 많은 소년이었습니다. 브룬스윅의 공작인 카알 빌헬름 페르디난드를 만나는 것은 지금까지 자신에게 있었던 일 중 가장 겁나는 것이었습니다. 그러나 결과적으로는 가장 행운이었습니다. 공작은 어린 가우스에게 큰 감명을 받아서 가우스가 캐롤라인 고등학교를 다닐 수 있도록 모든 비용을 대주겠다고 제안했습니다. 이 유명한 학교는 학생들의 대학 진학에 많은 도움을 주었습니다. 그의 도움이 아니었다면 가우스는 그 학교에 다닐 비용을 결코 구할 수 없었을 것입니다. 그러나, 공작의 후원과 어머니의 격려로 그는 그 학교에 진학할 수 있었습니다.
캐롤라인 고등학교에서 가우스는 모든 종류의 과목을 공부했습니다. 그는 문학을 사랑했고 몇 개의 외국어를 배웠습니다. 그의 뛰어난 기억력이 단어를 공부할 때, 도움이 되었던 것은 분명했습니다. 그러나 그것도 수학에 관한 사랑을 뛰어 넘지는 못했습니다. 그는 전공으로 한 과목만을 선택해야 한다는 것을 알고 있었습니다. 그게 무엇이었겠습니까?
브룬스윅의 공작 덕분에, 가우스는 괴팅겐 대학에서 공부할 수 있었다. 거기에서, 19번째 생일이 되기 하루 전, 그는 놀라운 발견을 하였습니다. 그는 정17각형을 컴퍼스와 자만 가지고 그릴 수 있다는 것을 발견했습니다. 2,000년 이상 동안 수학자들은 그것이 불가능하다고 믿어왔었습니다. 대개는 조용하면서도 겸손한 가우스였지만 이 발견은 드러내놓고 자랑스러워하였습니다. 그는 즉시 수학에 자신의 인생을 바치기로 결심했습니다. 바로 그날부터 그는 비밀 과학 일기를 쓰기 시작했는데, 그는 그 일기에 좋은 착상, 질문, 문제, 해결방법들을 모두 적어 두었습니다.
가우스의 아이디어들은 대부분 그가 죽고 나서 그 일기가 검토될 때가 되어서야 비로소 발견되었다. 그는 완벽주의자여서 완전하거나 정리되지 않은 이론들을 발표하려고 하지 않았습니다. 그는 자신이 깨달은 모든 것을 사람들과 나눌 충분한 시간이 없었을 따름이었습니다. 어느날 오후 가우스의 친구 한 명이 가우스를 방문했습니다. 차를 마시며 그들은 최근의 발견들을 서로 교환했습니다. 가우스는 친구에게 자신의 비밀 노트에 있는 공식들을 보여 주었고, 친구는 깜짝 놀랐습니다. "왜 이것을 다른 수학자들에게 보여 주지 않았어? 여기 대단한 통찰력이 들어 있는데."
가우스는 자신의 날카로운 푸른 눈을 친구에게 향하여, 한쪽 눈썹을 올리며 미소지었습니다. "내 말 들어봐." 그는 말했습니다.
"성당은 건물의 마지막 부분이 완성되지 않는 한 아직 완전한 성당이 아니지." 가우스가 죽은 후 하노버의 왕은 가우스를 위한 메달을 준비하도록 명령했습니다. 그 메달에는 "수학의 황제"라고 새겨져 있었습니다. 오늘날 사람들은 가우스를 아르키메데스, 뉴턴과 함께 3대 수학자 중의 하나로 여깁니다.






힐베르트의 호텔이야기


어느 관광지에 이라는 규모가 무한으로 큰 호텔이 있다. 이 곳은 이승과 저승에서 물밀듯이 찾아든 손님으로 늘 붐비고 있다. 그러나 지배인은 어떠한 일이 있어도 의 푯말을 현관에 내건 적이 없다.
한 팀의 여행객이 나타났을 때, 프론트에서 "오늘은 만원입니다"라고 입을 열려는 순간 지배인이 달려와 곧 빈 방을 마련해 주겠다고 했다. 만원인 호텔에서 어떻게 빈 방을 마련하겠다는 것일까?
답은 간단하다. 지배인은 이렇게 실내 방송을 했다.
"죄송합니다. 컴퓨터 고장으로 객실 번호가 하나씩 틀렸습니다. 객실 번호를 확인하시고 다음 호실로 옮겨 주시기 바랍니다."
손님들이 다음 번호의 방으로 옮기고 난 다음(이 호텔의 객실은 무한히 많다), 한팀의 여행객을 1호실에 모신 것이다.
이윽고 저승으로부터 단체 손님이 밀려왔다.
이번에는 참으로 야단났다. 손님 수가 무한 명이니 말이다. 그러나 지배인은여전히간단하게 해결했다.
먼저, 숙박 중인 손님들을 자신의 방 번호에 2를 곱한 번호의 방으로 옮기게 한다. 그러면 1, 3, 5, 7, 9, … 등 홀수 번호의 방이 모두 비게 된다. 이들 빈 방에 새로 찾아온단체손님을 모시면 되는 것이다.
이 이야기는 유한집합과 무한집합의 근본적인 차이점을 쉽게 설명하는 보기로 자주 인용된다. 이것을 지어낸 사람이 수학자 힐베르트였다고 하여 로 알려져 있다.





탈레스의 피라미드 높이 재기



밀레투스 지방 사람인 탈레스(약 BC 636-546)는 고대 '칠현인(七賢人)'중의 한 사람이며 그리스 최초의 철학자 겸 과학자로 알려져 있습니다. 또한 수학에 있어서 연역법을 사용한 최초의 인물이기도 합니다.
탈레스가 이집트를 여행하고 있을 때입니다. 어느 날, 탈레스는 그의 친구와 피라미드 주위를 걷고 있었습니다. 그는 새파란 하늘을 배경으로 우뚝 솟아 있는 거대한 피라미드를 보고 그 피라미드의 높이를 구하고 싶다는 생각이 들었습니다. 곰곰이 생각하고 있던 중 탈레스는 우연히 피라미드의 그림자를 보게 되었습니다. 태양이 점점 아래로 내려옴에 따라 탈레스 자신의 그림자와 마찬가지로, 피라미드의 그림자도 그 모양과 길이가 바뀌고 있었습니다. 두 개의 그림자는 일정 비율로 변화하고 있었으며 이 사실은 탈레스가 피라미드의 높이를 구하는데 필요로 했던 단서를 제공했습니다. 탈레스는 자신의 키와 자신의 그림자의 길이를 ㅇ라고 있었습니다. 또한, 피라미드 그림자의 길이도 알고 있었습니다. 알지 못하는 것은 피라미드의 높이였습니다. 비례식을 세우는 데 필요한 네 가지 값 중에 세 가지를 알고 있었기 때문에 탈레스는 다음과 같은 식을 통해 나머지 하나의 값을 알아낼 수 있었습니다.
탈레스의 신장 : 탈레스 그림자의 높이 = 피라미드의 높이 : 피라미드 그림자의 높이

탈레스가 피라미드의 높이를 구했다는 소식은 이집트 전역에 빠르게 퍼졌고, 그의 현명함에 모든 사람들은 놀라워했습니다. 그러나 정작 탈레스는 오래 전부터 이러한 문제를 해결하는 것을 단순한 취미 정도로 여기고 있었다는군요.