[수2-다함함수의 미분법] f''(x) 로 극대, 극소를 판정할 수 있는가?

f'(0) 은 극대, 극소나 변곡점이 될 수 있습니다.

 

f''(0) < 0 극소이고 f''(0) > 0 극대입니다.

 

f''(0) = 0 이 되면 어떻게 될까요?

 

대답은 알 수 없다입니다.

 

또 미분해봐야 아는거죠.

 

만약 f'''(0)=f'''''(0)=0 계속 0 이 나오거나

N번 미분했는데 처음으로 0이 아닌 도함수가 나온다면

N이 홀수라면 그 점은 변곡점입니다.

N이 짝수이고 그 N번 미분한값이 0보다 작으면 극대입니다.

N이 홀수이고 그 N번 미분한값이 0보다 크면 극소입니다.

 

N계도 함수 검증법은 지구상에 있는 거의 모든 함수를 검증할 수 있는방법입니다.

 

이는 메크롤린급수, 잉여항, 평균값정리 등을 이해하시면 배울 수 있습니다.

 

님이 주신 그래프 X^3 은 미분해도 계속 0 이 나옵니다.

 

y=x^3 인 경우

y' = 3x^2 y'(0) = 0

y'' = 6x y''(0) = 0

y''' = 6 y'''(0) = 6

즉, 3번 미분했을 때 0이 아닌 수가 나옵니다.

3은 홀수이므로 x=0 점은 N계도 함수 검증법에 의해 변곡점인 것입니다.

 

님이 예를 드신 밑의 함수는

f'(0)=0 일 것이고 f''(x)>0 이라고 하셨습니다.

그래프를 대략 보아하니 맞는거 같습니다.

 

하지만 f''(0)=0 이 분명한 그래프입니다.

그것은 f'(0) 의 그래프의 개형이 x^2 꼴이 될게 분명하거든요.

 

 

[쪽지확인후 추가내용]

 

N계도 판정법으로도 불가능한 함수도 있습니다.
대표적인 예로(학계에서 너무 유명한 함수죠)
Y=e^(-1/(x^2)) (단, x=0에서 y=0)
위 함수는 아무리 미분해도 x=0값에서 0만을 가집니다.
문제는 그래프를 보면 알겠지만 위함수는 (0,0)에서 극소값을 가집니다. 이런 특수한 경우를 제외하곤 모든 함수는 N계도 판정법으로 판정했을 때 극대,극소,변곡을 판정할 수 있습니다.

 

님께서 예를 드신 모든 함수들(다항함수가 아닌 함수들)도 미분만 가능하면

저런식으로 판정이 됩니다.(하지만 모두 가능하단 이야기는 아닙니다. 위와 같이 계속 미분값이 0 이 나와버리는경우 어떤 판정법도 적용할 수 없습니다.)

 

한 가지 중요한건

N계도 판정법을 사용 못하는 경우(미분해도 계속 0이 나옴) 는 있을 수 있어도.

N계도 판정법이 틀릴 수는 없습니다.

이는 엄밀히 증명되었습니다.

 

함수에 대한 이해는 고등학교 미적분학 내에서는 부분부분적인 내용만 알게되죠.

 

하지만 대학교 해석학을 배우게 되면, 미분, 적분에 대한 내용

 

함수의 무한급수 표현으로 시야가 넓어질 것입니다.

 

N계도 함수 검증법을 이해하실려면,.

 평균값정리(이는 고등학교 때 배우는 걸로 알고 있죠)

 

함수의 무한급수 전개[이 부분이 상당히 어렵습니다. 대학교 1학년 기초 미적분학 쯤에 보죠. 수열,급수,비판정법,적분판정법, 등을 다시 다 배웁니다.]

 

위를 이용한 함수의 메클롤린/테일러 급수 표현[ 에서 찾아보면 나와 있을 것입니다.]

 

결국 위의 표현은 고등학교 때 배웠던 평균값정리와 연결됩니다.

 

표현의 잉여항을 분석하여 N계도 함수 검증법을 일반화 시킬 수 있습니다.

 (대학 2~3학년때 해석학에서 배웁니다)