기대값 좀 구해주세요

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기대값 좀 구해주세요

작성일 2004.04.23댓글 1건
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확률변수 X의 확률분포가

f(x) = ⅓x^2 , 1-
0, otherwise

와 같이 주어졌을때 g(X)=4X+3의 기대값을 구하여라.

이게 문제입니다. 대충 식과 답 좀 알려주셨으면~~~



profile_image 익명 작성일 -

Y의 CDF를 Fy(y)라고 하죠. Fy(y) = P[Y
Y = G(X) = 4X+3 이라고 하면.. Y 와 동치입니다. 따라서 Fy(y) = Fx((y-3)/4) 이고 Fx(x)는 X의 CDF죠.

Y의 PDF는 CDF를 y로 미분한 것이므로
dFx((y-3)/4)/dy = fx((y-3)/4) * d((y-3)/4)/dy (체인 룰) 가 될 것이구요..

따라서 저 값은 (y-3) /4 가 (-1,2)의 범위일 때에만 0이 아니고, y의 2차함수로
나타납니다. E[Y] = INT y*(pdf of Y) dy 이므로,

pdf of Y의 자리에 위에서 계산된 값을, 적분 구간엔 pdf of Y가 0이 아닌 구간을
각각 집어넣어주면, E[Y]를 구할 수가 있습니다.

이게 (이름은 까먹었는데) Y=G(X)로 나타난 확률변수를 처리하는 좀더 일반적인 방법
같구요, 요체는, Fy(y)를 먼저 구한 뒤, fy(y)를 나중에 구하고 필요한 문제를 처리하
는 것입니다. Fy(y) = Fx(...)로 쉽게 대응될 수 있지만, fy의 경우는 좀 애매하거든요.

하지만, 이 문제는 특별히 E(G(X)) = 4E(X) + 3이 성립합니다. -_-;;

따라서.. 그냥 xf(x)를 -1에서 2까지 적분해 준 E(X)에다 4 곱하고 3 더하면 되겠죠.

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