★내공80★수학질문들 풀이랑 답 주실분

1.다음 중 옳지 않은 것은?
① 0∈{0} ② 0∈Ø ③ Ø⊂{0} ④ n(Ø)=0 ⑤ {0}⊂{0}

① 0∈{0} 의 경우 왼쪽의 {0}은 원소 0 을 가지고 있는 집합을
뜻합니다. 문제에서 왼쪽의 0 은 오른쪽 집합의 원소이기 때~
문에 옳다고 보면 되죠.

② 0∈Ø의 경우, 전 이 답이 틀린듯 하네요. 공집합은 집합은
집합이되 아무런 원소를 가지고 있지 않은 그런 성질의 집합
이기에 0이 원소라는 말은 아니죠.

③ Ø⊂{0} 의 경우, 공집합이 {0}집합에 포함된다는 뜻이죠.
어떻게 설명을 드려야 할지 모르겠지만, 공집합은 다른 집합
에 포함이 됩니다. 아무것도 가지고 있지 않은 집합 으로써
원소를 가지고 있는 다른 집합에 포함이 된다는... 아, 이렇게
밖에 설명못하는..ㅠ.ㅠ

④ n(Ø)=0 의 경우는 공집합의 원소의 갯수를 물어보고 있는것
이죠. 공집합, 앞서 말씀드렸다 싶이 아무런 원소를 가지고 있지
않은 그런 성질의 집합, 고로 위의 문제는 맞다는 소리!

{0}⊂{0} 의 경우... 너무 당연한 소리죠. 자기 자신이, 자신
에게 포함된다는데 누가 무어라 하겠습니까.

--고로 답은 2번 같네요.



2.다음 중 유한집합인 것을 모두 고르면?
① {XㅣX는 짝수}
② {XㅣX는 2보다 작은 자연수}
③ {XㅣX는 10보다 큰 4의 배수}
④ {XㅣX+1=1+X인 자연수}
⑤ {XㅣX는 10보다 작은 홀수}


① {XㅣX는 짝수}의 경우는 정말 한도 끝도 없는 무한집합이죠.
2,4,6,8... 아무런 제약이 없는 상태에서 이 수들은 끝없이
이어져 나가겠죠.

② {XㅣX는 2보다 작은 자연수}
이게 답일듯 하네요. 제약이 2보다 작은, 그리고 자연수 이렇게
두가지로 주어졌습니다. 2보다 작은 수야 많죠. 아직 배우셨는지
모르겠습니다만 실수로만 나가도 1과 2 사이에 끝없는 수들이..
하지만 자연수 라는 제약을 했기에 1, 이렇게 원소로 답변확정!
고로 유한집합이 되겠네요. 참고로 자연수란
0을 제외한 양의 정수를 말합니다.

③ {XㅣX는 10보다 큰 4의 배수}의 경우...
역시 제약은 두가지로 주어졌네요. 10보다 큰, 그리고 4의 배수.
10보다 큰 4의 배수, 한번 세어 볼까요? 12, 16, 20, 24 등등...
4에 3 이상의 모든 자연수를 곱하면 그 값이 10보다 큰 4의 배수
가 됩니다. 3이상의 자연수는 그 끝이 없는... 고로 위는 무한집합
입니다.

④ {XㅣX+1=1+X인 자연수} 하.. 일단 양변에 1씩을 빼도록 하죠.
X만 남도록 말입니다. 그럼 X=X가 되겠죠? 모든 수는 저 X에 들어가고,
역시 그런 X는 자신과 같을수 밖에 없으니... 무한집합입니다.

⑤ {XㅣX는 10보다 작은 홀수} 의 경우, 언뜻 보면 답처럼 보입
니다. 하지만 홀수는 자연수에만 국한되지 않고 음의 정수에도
적용 되죠. -1, -3, -5 등등... 역시 무한대로 나가죠.

-- 고로 답은 2번 같습니다.



3.집합 A={XㅣX는 15의 약수}이고,
{3, 5}⊂X⊂A일 때, 집합 X의 개수를
구하여라.

일단 A를 구해보죠. 15의 약수면 1,3,5,15..
A={1.3.5.15} 가 되겠죠.
그럼 X를 볼까요?
X는 {3,5}가 포함이 된다고 했습니다.
그럼 3,5 두개의 원소는 가지고 있다고 말을 해버렸네요.
3,5를 제외한 원소는 5와 15가 되겠죠.
공식을 써도 되겠지만 기본적으로 하기 위해서..
일단 X가 {3,5}의 경우부터
{3,5}, {1,3,5}, {3,5,15}, {1,3,5,15}
이렇게 4가지 경우가 생기겠네요.

참고로 공식을 사용해보면
X에서 3,5는 이미 가지고 있으니 제외하고 변수가 될
1과 15의 두 원소로 계산을 해서 2의 제곱, 고로 4~!
식은 2의 변수가 될 원소의 갯수 제곱 입니다.
원소의 갯수가 3이면 2의 3제곱,
갯수가 4면 2의 4제곱... 학교에서 배우실텐데 괜히 오바했군요.

-- 고로 답은 4 겠네요.



4.전체집합 U={XㅣX는 5보다 작은 자연수}
의 두 부분집합 A={1, 2}, B={2, 3}
에 대하여 다음을 각각 구하여라.
(1)A∪B
(2)A-B
(3)Ac∩Bc=

(1)A∪B의 경우 A와 B의 합집합.. 일단 A와 B의 원소를 합쳐서
쭉 나열하면 {1,2,2,3} 이렇게 되겠네요. 여기서 중복되는 2는
두개나 있을필요 없으니 하나 빼면~ --{1,2,3}

(2)A-B 의 경우 A의 원소에서 B의 원소를 빼라는 소리죠.
A를 보면 {1,2} 이렇게 두개의 원소가 있는데요, B는
{2,3} 이렇게 가지고 있죠. B가 A를 걸고 넘어져 자기하고
똑같은 녀석들을 빼낸다고 보시면 됩니다. 그럼 2는 빠지게
되고 A는 놀라서 도망쳐 보니 남은 건 1 뿐이죠.
그렇게 되면? --{1}

(3)Ac∩Bc= A의 여집합과 B의 여집합의 교집합을 구하여라..
중학교 진도를 모르니 그냥 있는 그대로 하겠습니다.
A의 여집합은 U(전체집합)에서 제외한 나머지죠.
U 를 보시면 5보다 작은 자연수라 하였으니
U={1,2,3,4}가 되겠구요, 여기서 A를 빼고 보면
A의 여집합은 {3,4}가 되겠네요.
같은 방법으로 B의 여집합을 구하면 {1,4} 가 되겠죠.
이 두 집합의 교집합... 같은 원소가 뭐 있나 볼까요?
4 가 있군요. 그렇게 되면? --{4}



5.전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여
n(U)=20 , n(A)=15
n(B)=8, n(A∩B)=15
일 때,n(Ac∩Bc)의 값을 구하여라.

아.. 이건 그림을 그려야 쉬운데.. 어쩔수 없이 그냥하겠습니다.
근..데? 어째 조금 문제가 이상하네요? A는 15, 그보다 작은
B가 8 인데 어떻게 그 둘의 교집합이 15가 될수 있죠?
아무리 커봐야 8인데... 문제에 이상이 있군요. 그러므로
Pass~!



6.A={1,2,a+1}, B={3,5,a}
에 대하여 A∩B={2,3}일 때, A-B
를 구하여라.

흠.. 문자가 들어가서 어렵다 생각하실 수도 있을런지는 모르겠으나
자세히 보면 너무나도 간단합니다. 일단 A∩B={2,3}를 보시면
A와 B 모두 공통적으로 2,3의 원소를 가지고 있다고 말하죠.
A를 볼까요?
A={1,2,a+1}.. 원소 2는 가지고 있지만 3이 보이지 않네요.
다만 의심스러운 a+1만 버티고 있죠. 눈치 채셨죠? a+1이 즉
3 이랍니다. 그럼 a의 값은 2가 되죠. a+1=3, a=2

B로 넘어가면 구해진 a의 값을 적용시켜서 보면
B={2,3,5}가 되겠네요

본격적인 문제, A-B를 보실까요?
위에서 푸셨죠. 어려울거 없습니다. B가 A와 같은 원소를 잡아
끌고 떨어져 나간다고 생각하시면 되요. 둘이 같은 원소를
보면 2,3이 되겠네요? B가 이 둘을 끌고 떨어져 나가고, A가
허둥지둥 도망쳐 나와서 보면? 남은건.. 1 뿐, 고로! --{1}



7.우리반 학생 35명 중 서태지를 좋아하는 학
생은 9명, 지오디를 좋아하는 학생은 15명
이었다. 서태지만 좋아하는 학생이 7명일
때, 둘 다 싫어하는 학생 수를 구하여라.

으아... 그림 못그리는 문서가 이리 싫을때가 있네요.
전체 학생의 수, 즉 n{U}=35
태지Love 를 A집합이라 보면 n{A}=9
GODLove 를 B집합이라 보면 n{B}=15
이렇게 정리가 되겠스무니다~!
여기서 서태지만 좋아하는 학생이라 함은
순수 서태지러브~ 즉, n{A-B}를 말하게 됩니다.
이 학생 수가 7명이네요.
둘다 싫어하는 학생 수를 구하라죠? 이는 A에도 포함안돼고
B에도 포함안되는, 즉 n(Ac∩Bc)를 구하라는 소리랍니다.
간단하게 그림을 그려보시면 아시겠지만 이것은
A와 B의 합집합을 전체집합에서 뺀값과 같죠.
그럼 본격적으로 문제 들어갑니다.

위에서 n{A}=9라 하였고, n{B}=15, n{A-B}=7 이라고
보기가 주어졌습니다. 일단 여기서 n(A∪B) 를 구하도록 하죠.
관건은 n{A-B}=7 입니다. 결론만 놓고 보자면
n{A-B} + n{B} = n(A∪B) 값이 나옵니다.
아.. 그림 못그리는게 여기서 문제가 되네요.
한번 그려보세요. 그럼 눈에 확 띄게 됩니다.
이해 안돼시면 쪽지로, 그럼 자세하게 설명해 드리죠.
(너무 길어져서..^^;;)
위의 식대로 문제를 풀면 7 + 15 = 22
즉 n(A∪B)=22 라는 값이 나옵니다.
하지만 우리가 구할것은 n(A∪B)c 였죠.
n{U}=35 에서 n(A∪B)=22를 제외한 값이니 계산하면
35 - 22 = 13, 즉 답은 13 이란 값이 나옵니다.
--- 13



8.집합 A={1,2,3 …, 50}의 원소 중 12배 하
면 어떤 자연수의 제곱이 되는 것을 모두 구하시오.

휴.. 드디어 마지막 문제네요.
8번 문제를 보니까 원소 수도 몇개 안돼고, 직접 일일이 계산
해도 문제 없어보이네요. 하지만 그럼 다른 조금 어려운 문제
가 나오면 쩔쩔매게 되니... 해보도록 하겠습니다.
일단 12배 하면 어떤수의 제곱이 된다고 하였죠.
12를 보면 12는 3과 4의 곱이고, 4는 2의 제곱입니다.
즉 12 = 3 * 2 * 2 라는 모습이죠.
제곱이라 함은 같은 수를 같은 수끼리 곱하는 것입니다.
위에서 보면 3은 하나요, 2는 둘입니다.
2는 제곱의 여건이 되죠. 3과 2를 하나씩 묶어 보면
(3 * 2) * 2 = 12 라고 정리 되죠. 이제 눈에 보이시나요?
안보이신다구요? 잘 생각해 보세요. 위의 값이 3을 곱하면
어떻게 되는지.. (3 * 2) * (3 * 2) 의 형식, 즉 6의 제곱
이 되죠. 자... 이제 문제 푸는 방식은 정해졌습니다.

일단 위에서 풀었다 싶이 3의 값이 그 첫번째가 되겠습니다.
그럼 계속 같은식으로 밀고 나가면
(3*2)(3*2)---- 3
(3*2*2)(3*2*2)---- 12
(3*2*3)(3*2*3)---- 27
(3*2*2*2)(3*2*2*2)---- 48

위의 4 경우가 될듯 싶죠? 제가 놓친부분이 있는가...도 모르겠
습니다만, 제가 보기엔 의 4경우가 전부인듯 하네요.
고로 답은? --- 3,12,27,48
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아, 이제야 다 풀었습니다. 30분이 넘게 걸렸네요.
도움이 되셨으면 하구요, 혹여나 모르는 부분이 있거나
이해가 안되시는 부분이 있음 일단은 문제를 푼 제게,
그래도 안되시면 선생님께 여쭤보세요.
난이도는 모르겠는데 중학교수학 안푼지 오래되서 그런지
접하니 낯설어 실수한건 없는지나 모르겠습니다.
그럼 답변 & 강의를 여기서 마치겠습니다.

아자!! 일단 한번 해봅시다!!!

1.다음 중 옳지 않은 것은?
① 0∈{0} ② 0∈Ø ③ Ø⊂{0} ④ n(Ø)=0 ⑤ {0}⊂{0}

▶ 2번. 0은 공집합의 원소가 아니다.


2.다음 중 유한집합인 것을 모두 고르면?
① {XㅣX는 짝수}
② {XㅣX는 2보다 작은 자연수}
③ {XㅣX는 10보다 큰 4의 배수}
④ {XㅣX+1=1+X인 자연수}
⑤ {XㅣX는 10보다 작은 홀수}

▶ 2번,5번
2번은. 자연수라 함이 1,2,3,4 이런 양수로의 정수를 뜻합니다.
하므로 2보다 작은 자연수는 1이므로. 유한집합!
5번은, 10보다 작은 홀수는 1,3,5,7,9 다섯개 뿐이므로
유한집합입니다.
유한집합이란, 집합의 원소 갯수가 셀수있는것을 뜻합니다.


3.집합 A={XㅣX는 15의 약수}이고,
{3, 5}⊂X⊂A일 때, 집합 X의 개수를
구하여라.

▶ A =(1,3,5,15)
이렇게가 15의 약수인데,
{3, 5}⊂X⊂A 이런걸로 보아선
X가 3,5를 포함한 15의 약수이므로
X는 4개!! 2갠가 -_-;

4.전체집합 U={XㅣX는 5보다 작은 자연수}
의 두 부분집합 A={1, 2}, B={2, 3}
에 대하여 다음을 각각 구하여라.

U = (1,2,3,4)

(1)A∪B = ▶ (1,2,3)
(2)A-B = ▶ (1,3)
(3)Ac∩Bc= ▶ (4)


5.전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여
n(U)=20 , n(A)=15
n(B)=8, n(A∩B)=15
일 때,n(Ac∩Bc)의 값을 구하여라.

▶ Ac = 5, Bc = 12
그러므로, n(Ac∩Bc) = 5
원래 n(Ac∩Bc) = (n(A∩B))c 와 같습니다.
둘의 여집합의 교집합은 둘의 교집합의 여집합과 같습니다.

6.A={1,2,a+1}, B={3,5,a}
에 대하여 A∩B={2,3}일 때, A-B
를 구하여라.

▶ (1,5)
a+1 = 3, a=2 왜냐하면..
교집합에 적혀있기 때문에 A와 B에 하나씩 없는게 들어가줘야 합니다.


7.우리반 학생 35명 중 서태지를 좋아하는 학
생은 9명, 지오디를 좋아하는 학생은 15명
이었다. 서태지만 좋아하는 학생이 7명일
때, 둘 다 싫어하는 학생 수를 구하여라.

답 : 13명.

(13명이라고 하던데 왜!!! 13명인지 모르겠군요-_-;;)


▶ n(U) = 35
n(A) = 7 - 서태지
n(B) = 15 - GOD


답이 13이었다면 말입니다 제 생각에는 문제가
둘중 하나라도 싫어하는 사람의 수는 몇명이었냐가 아니었냐
생각됩니다.
둘다 싫어하는 사람은 -_- (35-(15+9))이기 때문에..
둘중 하나라도 싫어하는 사람은
일단 35-15 를 합니다. 그리고
서태지를 좋아하는 애들이 문제인데
9명이긴 하지만 서태지만 좋아하는 애들은 7명이므로 35-15-7을 해줍니다.
2명은 지오디도 좋아할수도 있고 지오디를 싫어할수도 있으므로 매개체로 두지 않습니다


8.집합 A={1,2,3 …, 50}의 원소 중 12배 하
면 어떤 자연수의 제곱이 되는 것을 모두 구하시오.

▶ 3, 12, 48


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휴~ 반편성고사가 그렇게 중요한건 아니라고들 하는데..

사실 거기서 8등이라면 -_-선생님들 눈에 도장을 찍고 들어간다고

봐도 됩니다. 그니까 행복하시겠습니다 -_-;;

저는 39등하고 들어가서 -_-쿠사리만 매일 먹었답니다 -ㅁ-

1.답 : 2번

① 0∈{0} 집합{0}의 원소에 0 이 있으니까 (참)

② 0∈Ø 공집합은 원소가 하나도 없습니다. (거짓)

③ Ø⊂{0} 공집합은 모든 집합의 부분집합입니다 (참)

④ n(Ø)=0 위에 나왔죠? 공집합은 원소가 하나도 없습니다. (참)
n(A) : 집합A의 원소의 개수입니다.

⑤ {0}⊂{0} 모든집합은 자기 자신을 부분집합으로 갖습니다. (참)





2. 답 2번, 5번

집합은 크게 2가지로 나누어 집니다.
1) 유한집합 : 원소의 개수를 셀 수 있다. (공집합도 유한집합입니다.)
2) 무한집합 : 원소의 개수가 셀 수 없이 많다.

① {XㅣX는 짝수} : 짝수는 2,4,6,8,... 너무 많아서 세지 못하죠?(무한집합)

② {XㅣX는 2보다 작은 자연수} : 자연수 1,2,3,4,... 인데 2보다 작은 자연수는 1
1개 (유한집합)

③ {XㅣX는 10보다 큰 4의 배수} : 4의 배수 4,8,12,16,... 너무 많죠?
10보다 크면 12,16,... 계속있죠? (무한집합)

④ {XㅣX+1=1+X인 자연수} : x가 자연수라 x에 1,2,3,4... 넣어보세요...
그러면 1+1=1+1, 2+1=1+2, 3+1=1+3, .... 계속나오는데
모두 같다(참)임을 알겠죠...
따라서 집합{1,2,3,4,...} 너무 많은 (무한집합)

⑤ {XㅣX는 10보다 작은 홀수} : 1,3,5,7,9 딸랑 5개 네요... (유한집합)



3. 답은 4개

집합 A={XㅣX는 15의 약수}이고,{3, 5}⊂X⊂A

집합A = { 1,3,5,15} 입니다.
그런데 집합X 는 집합A 의 원소 중에서 원소 3,5를 반드시 포함하는 부분집합입니다.

3,5를 제외하고 부분집합을 구한 다음에 그 부분집합에 모두 3,5 를 넣은것과 같죠?

따라서 부분집합의 개수 2의(원소의 개수)승 을 사용하면

4개의 원소중 3,5 (2개) 가 빠진 부분집합의 개수는 2의2제곱 = 4

따라서 4개 입니다.



4. 답은 (1) {1,2,3}
(2) {1}
(3) {4}

전체집합 U={XㅣX는 5보다 작은 자연수} = {1,2,3,4}

A={1, 2}, Ac = U-A = {3,4} (전체집합의 원소중 A의 원소가 아닌것(뺀것) 입니다.)

B={2, 3} Bc = U-B = {1,4} (전체집합의 원소중 B의 원소가 아닌것(뺀것) 입니다.)

(1)A∪B = { A의 원소 또는 B의 원소 } (겹치는 것은 1번만 쓰죠)
= {1,2,3}

(2)A-B = { A의 원소 중에서 B 의 원소가 아닌것 } (A의 원소만 보고 B의 것을 지움)
= { 1 }

(3)Ac∩Bc= {3,4} ∩{1,4} = {4}



5. 문제가 잘못되어 있습니다.

n(U)=20
n(A)=15
n(B)=8,
n(A∩B)=15 : 교집합의 개수가 A의 개수와 같습니다.
다시 이야기 하면 교집합은 곧 집합A 라는 이야기 입니다.

여기서 교집합은 모두 집합A 와 집합B 의 원소이기 때문에 교집합의 원소가 모두 집합B 에 있다면 집합B 의 원소의 개수가 15개 가 되고 8 를 넘어 가니깐 문제가 잘못되었네요...

n(Ac∩Bc) =





6. 답은 {1}

A={1,2,a+1}, B={3,5,a}

A∩B={2,3} 집합A 와 집합B 에 원소 2,3 이 모두 있습니다.

따라서 2,3은 집합A 의 원소가 됩니다. a+1 =3 ---> a=2
반대로 2,3 은 집합 B의 원소도 되죠? 2=a

어차피 a=2 입니다.

A={1,2,3}, B={3,5,3}

A-B = { 1 } : (집합A 의 원소중에서 B 의 원소를 지운다)




7. 답은 13명

우리반 학생 35명
서태지를 좋아하는 학생은 9명
= ( 서태지만 좋아하는 학생이 7명 ) + (서태지와 지오디 모두 좋아하는 학생 x명 )

---> 서태지와 지오디 모두 좋아하는 학생은 2명입니다.

지오디를 좋아하는 학생은 15명
= ( 지오디만 좋아하는 학생이 y 명 ) + (서태지와 지오디 모두 좋아하는 학생 2명 )

---> 지오디만 좋아하는 학생은 13명 입니다.

둘 다 싫어하는 학생 수
= (전체학생 35명) - (서태지만 좋아하는 학생 7명) - (지오디만좋아하는 학생 13명)
- (둘다 좋아하는 학생 2명)

= 13명 입니다.



8. 3, 12, 27, 48

집합 A={1,2,3 …, 50}

12배하면 제곱수 (지수가 짝수) 가 되는 것을 모두 구하여라.

12을 곱한다고 했으니까 12을 소인수분해하면 12= 2의제곱 ×3 입니다.

일단은 3 , 3의 세제곱, 3의 오제곱, 3의 칠제곱 .... 이런식으로 홀수제곱이여야
12에 있는 3과 합쳐져서 3의 짝수제곱이 됩니다.

그리고 그외의 수는 당연히 짝수지수가 되어야 겠지요...

3의 배수를 먼저 찾으면

3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48, (굳이 나열하지 않아도 되지만...^^)

그중에서 3만 있던가 제곱수 2의 제곱: 4, 3의 제곱 9 , 4의 제곱:16 ... 들이 곱해져있는 것을 찾으면

3, 3 ×2의제곱 = 12, 3 ×3의제곱 = 27, 3 ×4의제곱 = 48

확인을 하면 위의 숫자에 (12을 곱하면)

3 ×12 = 36 ( 6의 제곱수 )
12 ×12 = 144 (12의 제곱수 )
27 ×12 = 324 (18의 제곱수 )
48 ×12 = 576 (24의 제곱수 )

입니다.


도움이 되길 바랍니다. (즐거운 하루 보내세요..) ^_________^