수2 넓이와적분 질문이요^ ^

맨 처음의 두 식을 연립해서 x의 값을 구해보면 x=2,-2라고 나오는데요

 

결국 이 두점 사이에서 곡선과 직선으로 둘러쌓은 부분의 넓이를

 

구하라고 해서 -2에서 2까지 적분할려는 건데요.

 

그리고 자세히 보시면 위끝과 아래끝이 같잖아요? 그래서

 

(-2~2까지) ∫   ← 이걸 2∫ (0~2까지) 라고 나타낸거죠.

 

근데 이렇게 변환이 되려면 "우함수"인경우에만 가능하거든요.

 

y축 대칭인 함수를 우함수라고 하는데, 이 함수는

 

어떤 변수를 넣어도 f(x)=f(-x)가 성립합니다. 즉 -2를 넣으나 2를 넣으나

 

같은 값이 나온다는 얘기죠. 따라서 -2에서 0까지 적분하나

 

0에서 2까지 적분하나 같다는 얘기죠.

 

문제가 -2에서 2까지 적분하는거니까

 

0에서 2까지 적분해준것에 2배를 해주면 같게나온다는 의미입니다.

 

이런 함수는 다항함수로는 상수함수,2차함수,4차함수... 2(n-1)차 함수가 해당됩니다.

 

반대로 "기함수"라는게 있는데 이건 원점대칭입니다.

 

이 함수는 위와는 반대로 적분범위의 위끝과 아래끝의 절대값이 같고

 

부호가 다를경우 적분하면 0이 나옵니다.

 

이런 함수는 1차함수,3차함수,5차함수.... 등이 해당됩니다.

 

근데 두줄 위에 있는게 무슨말이냐면, -1에서 1까지 y=x를 적분한다고

 

생각해보시면, -1에서 0까지는 아래쪽으로 삼각형모양이 나오고

 

0에서 1까지는 x축 위로 삼각형이 나올겁니다.

 

y=x와 같은경우는 원점대칭이므로 이 두 삼각형의 넓이는 같습니다.

 

근데 이 두삼각형이 하나는 음수고 하나는 양수의 값이 나오거든요.

 

따라서 두개를 합하면 0이 나오죠.

 

"기함수"의 특징입니다. "위끝과 아래끝이 절대값이같고 부호만 다를경우

 

적분하면 무조건 0이다."

 

그리고 우함수는 "위끝과 아래끝이... 부호만 다를경우"

 

0에서 한쪽으로 적분한값에 2배로 나타낼수있다.

 

답을 보시면 인테그랄 안에 상수함수와 이차함수만 남았지요?

 

바로 "우함수"인경우라서 그렇습니다. 나머지 3차항과 1차항은

 

"기함수"로 취급이 되어버려서 적분하면 0이되어버리기 때문에 빼준것이죠

 

실제로 그냥 빼지않고 계산해보면 그것들은 알아서 싸악 없어지게 되어있습니다.. ㅎ

 

 

 

설명이 길었는데, 제가 말주변이 없어서 ^^... 우함수과 기함수에 대한 설명을

 

좀더 이해하기 쉽게 해드릴려고 하다보니깐 짧게해도 될걸 너무 길게썼네요 -_-;;

 

도움이 되었으면 좋겠네요 ^^

계산중에 생략을 하셨느데 직선과 곡선의 교점의 x 좌표가 -2 와 2 아닌가요??

 

즉 적분 범위가 -2부터 2인거죠.. 0 부터 2 한담에 앞에 2 곱하는게 아니라..

 

그런데~  여기서 알아야 할것이 기함수 와 우함수입니다..

 

기억이 가물가물한데... 하나는 원점대칭이고 다른 하나는 y 축 대칭인건 아시죠??

 

그렇다면 다항식에서 홀수차항으로만 이루어진 식은 원점대칭이므로

 

동일한 범위.. -2 부터 2 까지 적분하면 0 이되요..  즉, 짝수차항만 남게되는거죠..

 

그런데 짝수차항은 y 축 대칭으로 0부터 2까지 적분값에 2배 한거와 동일하죠..

 

그래서 앞에 2배 해주고 적분구간을 0부터 2까지 해주는거에요..

 

이거 헤깔리지 마시길...