미적분 문제 풀어주세요

일단 곡선의 개형을 생각해 보면

y = 8x - 27x³

y' = 8 - 81x² 으로 x = ±2√2/9 에서 y' = 0이 됩니다.

최고차항계수가 음수이므로 N자 뒤집힌 형태의 곡선이 됩니다.

홀수차항만 있으므로 원점대칭그래프가 되는데 지금 주어진 사진의 모양은 1사분면만 나타낸 것입니다.

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빨간선과 곡선의 교점의 x좌표값을 좌측부터 a,b라고 하면 (0＜a＜b)

색칠된 좌하, 우상 넓이가 모두 S라고 하면

(8x - 27x³) - c 를 0≤x≤a 범위에서 적분하면 그 적분값은 -S이고

(8x - 27x³) - c 를 a≤x≤b 범위에서 적분하면 그 적분값은 S가 됩니다.

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따라서

(8x - 27x³) - c 를 0≤x≤b 범위에서 적분하면 그 적분값은 0 이 됩니다.

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부정적분하면 4x² - (27/4)x⁴ - cx가 되고 0≤x≤b범위에서 0이므로

4b² - (27/4)b⁴ - bc = 0입니다.

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아.. 그리고 b는 교점의 x좌표이므로

8b - 27b³ = c입니다.

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두 식을 연립하면

4b² - (27/4)b⁴ - b(8b - 27b³) = 0

4b² - (27/4)b⁴ - 8b² + 27b⁴ = 0

-4b² + (81/4)b⁴ = 0

-16b² + 81b⁴ = 0

b²(81b² - 16) = 0

b = 0, ±4/9

b＞0 이므로 b = 4/9

c = 8b - 27b³ = 8*(4/9) - 27*(64/729) = 32/9 - 64/27 = (96 - 64)/27 = 32/27