안녕하세요! 경제수학 문제에 대해 도움을 드리겠습니다.
문제를 보면, 두 회사 A와 B가 있고, 각각의 제품을 생산하는데 드는 비용과 가격이 주어져 있습니다. 이를 이용하여 두 회사의 이윤을 최대화하는 문제입니다.
먼저, 회사 A와 B의 이윤 함수를 구해보겠습니다.
회사 A의 이윤 함수는 다음과 같습니다.
$$
A(x) = 20x - 0.5x^2
$$
여기서 $x$는 회사 A가 생산하는 제품의 수입니다.
회사 B의 이윤 함수는 다음과 같습니다.
$$
B(y) = 15y - 0.3y^2
$$
여기서 $y$는 회사 B가 생산하는 제품의 수입니다.
이제 두 회사의 이윤을 최대화하는 방법을 찾아보겠습니다.
1. 두 회사가 모두 생산을 하지 않는 경우
만약 두 회사가 모두 생산을 하지 않는다면, 이윤은 0입니다.
2. 회사 A만 생산하는 경우
회사 A만 생산하는 경우, 회사 A의 이윤 함수를 최대화하는 $x$를 찾으면 됩니다. 이를 위해 이차함수의 꼭짓점을 구하면 됩니다. 이차함수의 꼭짓점은 $-rac{b}{2a}$에서 구할 수 있습니다. 따라서 회사 A만 생산하는 경우, $x=20$에서 이윤이 최대가 됩니다.
3. 회사 B만 생산하는 경우
회사 B만 생산하는 경우, 회사 B의 이윤 함수를 최대화하는 $y$를 찾으면 됩니다. 이를 위해 이차함수의 꼭짓점을 구하면 됩니다. 따라서 회사 B만 생산하는 경우, $y=25$에서 이윤이 최대가 됩니다.
4. 두 회사가 모두 생산하는 경우
두 회사가 모두 생산하는 경우, 두 회사의 이윤 함수의 합을 최대화하는 $x$와 $y$를 찾으면 됩니다. 이를 위해 두 회사의 이윤 함수를 더한 후, 이차함수의 꼭짓점을 구하면 됩니다. 따라서 두 회사가 모두 생산하는 경우, $x=20$이고 $y=15$일 때, 이윤이 최대가 됩니다.
따라서, 두 회사가 모두 생산하는 경우, 이윤은 $A(20)+B(15)=610$입니다.
따라서, 정답은 4번입니다.
이 문제를 푸는 과정에서 이차함수의 꼭짓점을 구하는 방법이 중요합니다. 이를 위해서는 이차함수의 일반식을 알아야 하고, 꼭짓점의 위치를 구하는 공식을 알아야 합니다. 이를 복습하시면 다음에도 유용하게 사용하실 수 있을 것입니다.
