명제 'n>=6인 자연수에 대하여 n! > n^3'을 수학적 귀납법으로 증...
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명제 'n>=6인 자연수에 대하여 n! > n^3'을 수학적 귀납법으로 증...
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[기본단계] n = 6일 때, n! = 6! = 720 이고, n^3 = 6^3 = 216 입니다. 따라서, n! > n^3 이 성립합니다.
[귀납단계] n = k일 때, n! > n^3 이라고 가정합니다. n = k + 1일 때, n! > n^3 인 것을 보여주어야 합니다.
n = k + 1일 때, n! = (k + 1)! = (k + 1) * k! 이고, n^3 = (k + 1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 입니다.
따라서, n! > n^3 을 증명하기 위해서는 다음 부등식이 성립해야 합니다.
(k + 1) * k! > k^3 + 3k^2 + 3k + 1
여기서, 좌변의 (k + 1) * k! 을 우변에서 k^3, 3k^2, 3k 중 어떤 항과 대응시킬지 생각해보면, k! 이 k^3 보다 크므로 (k + 1) * k! 은 k^3보다 항상 큽니다. 또한, (k + 1) * k! = k! + k * k! 이므로, 우변의 k^3 에서 k! 을 빼면 k^3 - k! = k!(k^2 - 1) = k!(k+1)(k-1) 이 되고, 이 값은 항상 양수입니다.
따라서,
(k + 1) * k! = k! + k * k! > k^3 + (k^3 - k!) = 2k^3 - k! ≥ 2k^3 - k^3 = k^3 + 2k^3 - k^3 = 3k^3 > k^3 + 3k^2 + 3k + 1 = (k + 1)^3
위의 부등식이 성립하므로, n! > n^3 은 n = k + 1일 때도 성립합니다.
따라서, 기본단계와 귀납단계를 모두 만족시켰으므로, n >= 6인 자연수에 대하여 n! > n^3 을 수학적 귀납법으로 증명할 수 있습니다.
[기본단계] n = 6일 때, n! = 6! = 720 이고, n^3 = 6^3 = 216 입니다. 따라서, n! > n^3 이 성립합니다.
[귀납단계] n = k일 때, n! > n^3 이라고 가정합니다. n = k + 1일 때, n! > n^3 인 것을 보여주어야 합니다.
n = k + 1일 때, n! = (k + 1)! = (k + 1) * k! 이고, n^3 = (k + 1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 입니다.
따라서, n! > n^3 을 증명하기 위해서는 다음 부등식이 성립해야 합니다.
(k + 1) * k! > k^3 + 3k^2 + 3k + 1
여기서, 좌변의 (k + 1) * k! 을 우변에서 k^3, 3k^2, 3k 중 어떤 항과 대응시킬지 생각해보면, k! 이 k^3 보다 크므로 (k + 1) * k! 은 k^3보다 항상 큽니다. 또한, (k + 1) * k! = k! + k * k! 이므로, 우변의 k^3 에서 k! 을 빼면 k^3 - k! = k!(k^2 - 1) = k!(k+1)(k-1) 이 되고, 이 값은 항상 양수입니다.
따라서,
(k + 1) * k! = k! + k * k! > k^3 + (k^3 - k!) = 2k^3 - k! ≥ 2k^3 - k^3 = k^3 + 2k^3 - k^3 = 3k^3 > k^3 + 3k^2 + 3k + 1 = (k + 1)^3
위의 부등식이 성립하므로, n! > n^3 은 n = k + 1일 때도 성립합니다.
따라서, 기본단계와 귀납단계를 모두 만족시켰으므로, n >= 6인 자연수에 대하여 n! > n^3 을 수학적 귀납법으로 증명할 수 있습니다.
명제 'n>=6인 자연수에 대하여 n! > n^3'을...
... 따라서, 기본단계와 귀납단계를 모두 만족시켰으므로, n >= 6인 자연수에 대하여 n! > n^3 을 수학적 귀납법으로 증명할 수 있습니다.
1*2*3*...n>2^n승 귀납법으로 증명좀...
... n>=4인 자연수 n에대하여 다음 부등식이 성립함을 수학적 귀납벚으로 증명하여라 1*2*3*...n>2^n승 이렇게... 새롭게 귀납법으로 정리해주시거나 제 궁금증에 대한...
수학적 귀납법에 의하여 모든...
수학적 귀납법에 의하여 모든 양수h에 대하여(1+h)ⁿ≥1+nh(단, n≥1)가 성립한다는 걸 보여주세요. 수학적... 의해 n≥1 인 모든 자연수에 의해 (1+h)ⁿ≥1+nh입니다. p.s....
모든 자연수 n에 대하여 1²+2²...
... 제곱수의 합 공식 모든 자연수 n에 대하여 1²+2²+3²+…+n²=1/6n(n+1)(2n+1) 이것을 수학적 귀납법으로... (2k+3)/6 즉 k+1 일때도 성립한다. (주어진 식에 (k+1)을...
수학적귀납법증명좀 1*3*5*.........
... (k+2)(2k+2)(2k+1) 1 × 3 × 5 × ... × (2k+1) × 2^(k+1) = (2k+2)(2k+1)(2k)(2k-1)....(k+2) 따라서 위 명제는 모든 자연수 n 에 대하여 참입니다.
공식(Σn=n(n+1)/2)에 대하여 알려주세요~!
자연수의 합을 구하는 공식(Σn=n(n+1)/2)에 대하여 알고 싶어요 (Σn=n(n+1)/2)의 공식을... 1+2+3+4+...+n=n(n+1)/2 이것의 증명은 수학적 귀납법으로 간단하게 할 수 있읍니다....
모든 자연수 n에 대하여 n계도함수의 x...
... 모든 자연수 n에 대하여 f의 n계도함수가 x=0에서... 모두0으로 수렴하기때문에 f^(n+1)(0)=0. 따라서 수학적 귀납법에 의해 모든 자연수 n에 대해 f^(n)=0이다.
수학적 귀납법 n=k이라고 가정하는거 왜...
... 가정을 해도 귀납법이 성립하는 이유가 뭔지 진짜... n=2 일때 참이면, n=3 일때 참이다.. 이렇게 되겠죠? 결국은, 위의 1),2)만 증명하면, 모든 경우에 대하여...
≥ 2^n-1 (단 n=1,2,3...) 귀납적 증명...
... ≥ 2^n-1 (단 n = 1,2,3,...) 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하여라. <풀이> n=1일때 성립. n=k 에대하여... 이는 n=k+1일때 성랍함을 의미한다 따라서 모든 자연수에...
수학 귀납법 1+3+5...(2n-1)=n^2 질문
을 증명 할려고 할때 1+3+5+...+(2k-1)+(2(k+1)-1) =k^2 + (2(k+1)-1) =k^2+(2k... 수학적 귀납법을 이용해서 자연수 n에 관한 명제 p(n)을 다음과 같이 증명합니다. 1) p(1) (또는 p(0))이...