정수론 페르만 질문이요

1

수학적 귀납법은 그냥 해보면 됩니다.

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n = 2일 때,

이 성립함은 계산해보시면 알 수 있습니다. ◇

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n = k일 때 주어진 식이 성립한다고 가정하겠습니다.

그 다음, n = k + 1을 대입해보겠습니다.

페르마 수의 일반항을 변형하여 우변을 F_(k + 1)에 대하여 풀어줍니다.

따라서

이고, 문제의 식은 n = k + 1일 때도 성립합니다. ◆

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◇과 ◆, 그리고 수학적 귀납법에 의해 문제의 식이 n ≥ 2일 때 성립합니다.

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2

WLOG m < n이라 하겠습니다.

1번 식을 변형하면

이므로, F_n을 F_m으로 나눈 나머지는 2입니다.

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Division algorithm에 의해

이고, 페르마 소수는 홀수이므로

입니다.

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