직교좌표계와 벡터 질문

1:1 질문 감사합니다

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7번과 8번, 15번에 대해서 한 번 살펴보도록 하겠습니다.

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7번)

두 평면 M1 : x+4y-4z=9, M2 : x+2y+2z=-3 사이의 각을 세타라고 할때,

코사인 세타를 구하고 두 평면의 교선의 매개변수 방정식을 구하시오.

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질문자님께서 풀이하신 내용을 보니, 모두 맞습니다. 그런데 잘 모르겠다고 하셨으니,

약간의 설명을 밑에 적겠습니다.

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보통 '교'가 들어가는 것은 교점이든 교선이든, "연립"방정식의 해를 의미하게 됩니다.

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따라서 주어진 두 개의 식을 연립한

이 식의 해를 구하면 됩니다.

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하지만 식은 2개이고 문자는 3개이므로, 딱 하나의 해로 구해지지는 않습니다.

따라서 구해주신대로

로 구해집니다.

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그러면 여기서 z를 t로 놓으면

와 같이 표현이 됩니다.

답지에서는 z를 -t로 놓고 구했습니다만 t가 실수이기때문에 상관은 없습니다.

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그 다음은 두 평면이 이루는 각을 구하는 과정에 대해서 살펴보겠습니다

이렇게 두 평면이 있다고 할때, 두 평면을 간단하게 '선'으로 보이도록 시선을 조정해주면

이렇게 조정할 수 있습니다.

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이제, 두 평면의 법선 벡터를 생각해보면

이렇게 볼 수 있습니다.

물론 법선벡터가 꼭 저렇게 같은 방향으로 있지는 않아도 됩니다. 서로 반대방향 일 수 도 있고, 그렇습니다.

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그러면 이제 두 평면의 사이각을 살펴봐야 하는데, 중요한건,

두 평면의 사이각을 고려할 때는 항상 예각을 본다는 것입니다.

따라서 cos 이든 sin이든 항상 양수의 값을 갖도록 구하시면 됩니다.

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그래서 두 법선벡터와 평면의 사이각을 살펴보면

따라서 두 법선 벡터가 이루는 각이, 평면의 사이각이 된다는 것입니다.

두 법선벡터가 이루는 각을 구하는 것은 적어주신 대로 해주시면 됩니다.

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8번) 8번의 답이 다른 이유는 마지막에 사용하는 식이 좀 이상한 것 같습니다.

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보통 두 직선 사이의 거리를 구할 때,

물론 평행하다면 그냥 한 점과 직선사이의 거리로 구하면 되지만,

이 문제와 같이 평행하지 않은 두 직선 사이의 거리를 구할때는 몇개의 과정을 거칩니다.

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우선 다음의 두 명제를 서술하고 가겠습니다.

1) 두 직선 사이의 거리는 "가장 짧을 때"가 됩니다.

2) 두 직선 사이의 거리가 되는 직선은 두 직선에 모두 수직이 됩니다.

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그러면 거리는 이렇게 구하면 됩니다.

우선 두 직선에 모두 수직이 되는 것은 외적입니다.

그리고 거리가 가장 최소가 되어야 하므로,

두 직선에서 임의로 점을 하나씩 잡아서 만들어지는 길이를 외적에 "사영"시킨다. 입니다.

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그림으로 표현해보면

(나름 사영을 표현해본다고 그라데이션을 넣었는데, 잘 보일지 모르겠네요 ㅎㅎ)

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자 따라서

두 직선 위의 두 점을 L1에서 (1,2,-1)로 잡아주셨고,

L2에서(-2,-1,3)으로 잡아 주셨습니다. (물론 (2,1,0)으로 잡아도 괜찮습니다.)

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그러면 두 점을 연결하는 벡터는 구해주신대로 (3,3,-4)이고,

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두 직선의 방향벡터는 각각 (5,3,2)와 (4,2,-3)이므로

외적하면 (-13,23,-2) 입니다.

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그러면 (3,3,-4)벡터의 (-13,23,-2)로의 정사영을 구하면

입니다.

마지막에 좀 장황하게 쓰긴 했지만, 계산 과정을 보여드리기 위해서 따로 지우지 않고 보여드립니다.

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15번) 이 문제는 문제의 서술이 좀 복잡해서 잘 못 이해하신 것 같습니다.

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PoP+n과 PoP-n이​ 수직이 되는 평면 파이 위의 점을 모두 구하여라

라는 말은

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두 벡터와 모두 수직이 되도록 하는 평면위의 점을 구하는 게 아니라

두 벡터가 서로 수직이 되도록 하는 평면위의 점을 구하라는 뜻입니다.

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실제로 조금 다르지만 단어를 살짝 바꿔보면

"갑숙과 을숙이 친구가 되는 상황" 으로 바꿔보면

갑숙이와 을숙이와 모두 친구가 되는 상황이라는 것이 아니라

갑숙이랑 을숙이가 서로 친구가 되는 상황이라는 뜻이 된다는 것을 아실 수 있을겁니다.

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따라서 문제에서는 PoP+n과 PoP-n이 서로 수직이 되도록 한다고 했으니까,

두 벡터를 내적한 값이 0임을 보이면 될 것 같습니다.

따라서

두 벡터는 구해주신대로

이고

두 벡터를 내적하면

이므로

이 됩니다.

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추가적인 질문이 있으시면 추가질문 혹은 1:1 질문을 남겨주세요~ 감사합니다!

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