벡터 내적과 초평면 질문!!!

단위벡터 y 위로의
x 의 벡터사영[vector projection]은
Proj(y)x = (x · y)y 예요.
(x · y)y = y iff x · y = 1
iff (x - y) · y = 0
이므로
R^2 에서 {x : x · y = 1}은
y 의 종점을 지나고 벡터 y 를 법선벡터로 갖는 직선이네요.

R^3 로 일반화합시다.
내적 a · a = 4 임을 주목합시다.
Proj(a)x = {(x · a)/(a · a)}a
= {(x · a)/4}a .

(1) x · a = 1 iff x · a = (1/4)(a · a)
iff {x - (1/4)a} · a = 0
이므로
(1/4)a = a/4 의 종점을 지나고 a 에 수직인 평면이네요.
(즉, a 위로의 벡터사영이 a/4 인 x 의 집합)

(2) x · a = 2 iff x · a = (1/2)(a · a)
iff {x - (1/2)a} · a = 0
이므로
a/2 의 종점을 지나고 a 에 수직인 평면입니다.

(3) x · a = 4 iff x · a = a · a
iff (x - a) · a = 0
이므로
a 의 종점을 지나고 벡터 a 에 수직인 평면.