4계 상미분방정식 질문입니다~~

미정계수법을 써도 되고 안되고의 차이는 뒤에 있는 녀석 차이입니다. 

계수는 관계없어요. y^(k) 의 계수가 모두 상수이기만 하면 돼요.

y```` - y` = 2e^(-x) + 1

일단 yc 구합니다

x^4 - x = 0 이라고 보고, 인수분해 : x(x^3-1) = x(x-1)(x^2+x+1) 이니까,

x = 0,1,-1+-(루트3)i / 2 이렇게 됩니다.

이때 e^(-1/2 +- 루트3i/2) = cos120도 +-isin120도 이니까

그러니까 yc = c1 + c2*e^x + c3*(cos120도 + isin120도) + c4*(cos120도 - isin120도)

이 다음에 yp.

e^(-x) 와 상수만 있기 때문에 미정계수 쓸 수 있습니다.

그런데 : 미정계수 놓는 방법이 조금 잘못되었네요.

즉 해를 ae^(-x) + b 가 아니라, 4번 미분해서 상수가 되는 것까지 모두 포함했어야 했어요.

그러니까 : 여기서 보이지는 않지만, 저 형상이 아니라 :

ae^(-x) + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex 로 놓았어야 했다는 뜻이에요. 

원래대로라면 f도 포함되어야 하지만, 미분하지 않은 녀석이 없으니까 빼주어도 됩니다.

이걸 4번 미분 : ae^(-x) + 24b

1번 미분 : -ae^(-x) + 4bx^3 + 3cx^2 + 2dx + e 

이걸 뺍니다 :

2ae^(-x) + 24b - 4bx^3 - 3cx^2 - 2dx - e = 2e^(-x) + 1

여기서 a = 1이고, 24b - e = 1 이라는 결론이 나옵니다.

c = d = 0 인 건 아무 연고가 없으니까 가능하지만, b와 e는 관계가 있네요. 이건 처리할 수 없겠는데요..

yp를 e^(-x) + bx^4 + ex 로 두되, 24b - e = 1 이라는 걸 명시할 수밖에 없네요. 다 해가 되니까..

즉 일반해 y는 : 

y = yc + yp =

c1 + c2*e^x + c3*(cos120도 + isin120도) + c4*(cos120도 - isin120도)

+ e^(-x) + bx^4 + ex

(여기에서, c1,c2,c3,c4는 임의의 상수, b,e는 24b - e = 1 을 만족하는 두 상수)

이렇게 나오는 게 맞겠네요.