수학과 복수전공해서 수업 듣고 있습니다. 조언이 필요합니다...

안녕하세요, 우선..... 님의 글을 대략적으로 봐서는 수학과를 전공하기에 앞서서 수학에 관련해서는 조금

거리가 멀었었던 문과 출신의 학생이었다라는 생각이 강하게 풍기는 어구들이 많아서요. 앞서 님의 상황을

자세히 기술해주는 부분들이 없이 바로 본론으로 들어가셔서 현재의 입장이 나오면 대략적인 전반적인 상

황을 토대로 하여 그것에 기반을 두고 답변을 할 수가 없게 되거든요.(제 말은, 지금 복수 전공이 아니라

진짜 전공을 문과 과정을 밟고 잇는 사람이라고 본다라는 말임)

저희 답변자들은 정확히 전반적인 정보들이 필요합니다. 정신적인 것들과 육체적인 문제들까지도요.

저의 경우에는 문과 출신이고 현재 해외 이민을 와서 경제학과 세무회계학을 전공하고 있는 대학생이고

오래지 않아서 졸업을 하는 사람이에요. 혼자 독학으로 수학, 과학 분야들을 3년이 넘게 공부를 하고 있는

사람입니다. 독학에만 의존을 해서 공부를 해서 그런지는 모르지만 대략적인 독학 부분들에 관련해서

사람들의 도움이 없이 내 혼자서 해결을 하는 습관이 들어서 님의 경우에 대해서는 대략적인 문제의

경우들이 대략 어디에 출발해서 어디에 흐르고 잇는 것인지를 알겠습니다.

님의 출신이 문과생이라는 예시들이 조금 강하게 풍기는 것 같아서 님이 문과생이라는 것을 전제로

답을 할께요. 혹여, 문과 출신이 아니더라도 그에 준하는 것으로 고등학교 생활을 대단히 신경을 쓰지

않았던 이과 학생이라고 말이에요. 그러니까 이 말은, 님께서 지금 수학을 공부를 하기 위해서 독학을

했다라고 말을 해도 일단 고등학교 시절에 수학에 대한 기반적 실력을 키우진 못했던 문과 출신이라는

전제로 말이에요. 그리고 이과 수학들을 독학했다라는 대목에서도 대단히 심적으로 문제가 많은 부분들이

많이 있습니다.

우선,이과생들의 경우에 제대로 공부를 해서 들어온 애들의 경우에는 님에게 조언을 해주면서 님을 이해를

못하겠다라는 표정을 짓거나 그런 거 그냥 해버리면 그만이다라는 느낌을 풍기는 말들을 해주는 것이

다반사에요. 실제로, 이과생들이 우리들의 입장들을 모르는 것은 당연해요. 2년이라는 세월을 들여서

수학2와 미분적분을 기반을 다지면서 중간고사와 기말고사, 방학기간들을 보내온 것들은 정말 무시무시할

정도의 격차를 발생하고 의식적인 영역에서의 격차를 가져오는 대단히 큰 차이를 가지게 되는 부분들이기

때문입니다.

질문자님, 저는 1990년생으로 나이가 어떻게 되시는 것인지는 모르지만 대략적으로 님과 나는 나이가 비

슷한 사람일 거라고 봅니다. 이과 수학을 독학을 했다라는 점에서, 우선 님의 독학이 어떻게 이루어져

왔었느냐에 대한 과거의 정보가 턱 없이 부족하게 되어있습니다.

우선, 님께서 가지고 있는 문제들을 정확하게 찍어내기 위해서는 님의 수학 공부과정들에 대한 정보들이

우선적으로 우리들에게 주어져야만 대략적으로 님의 수학에 대한 문제들이 어디에서 기인을 했는지를

알 수가 잇는 것인데 지금 현재 님께서 말하시는 부분들에 대한 전반적인 내용들을 근거로 하여 살펴

보니, 수학 공부 과정들에 대해서 독학에 대해서 심각하게 기반적인 실력을 준비하는 과정들이 부족한

상황이라는 것을 알 수가 있습니다.

대부분의 학생들 당사자들이 대단히 무시하고 있어 오다가 시간이 지나면서 직접적으로 무시해오던

것들이 심각한 문제의 핵심 능력 부족으로 이어지게 되고, 현재의 정체를 야기한 부분들을 보지를 못하는

경우들은 많아요. 그리고, 독학이라는 것들은 상당히 많은 부분에서 심히 문제들이 많기 때문에 님에게

이런 말을 해드려야 할 것 같습니다.

님이 지금 가지고 잇는 문제들은 수학 전반에 걸친 기초부족에서 야기된 문제들입니다.

수학2와 미분적분은 물론이거니와 그 이전에 수학1과 10-가, 10-나에 대한 이해를 못하고 있는 상황에서

출발을 했던 거에요. 사실 이 공부들을 대충 끝내고 올라가면 되는 일이 아니냐라고 말을 하는 애들이

많은데, 절대 아닙니다.

지금 님께서 공부를 하시는 선형대수라던지 해석학은 그런 기초 실력들이 부족한 상황으로 넘어가서

공부를 하면 극복하기 까직은 3년이란 세월이 더 걸리거나 아예 극복 자체가 안됩니다. 님의 경우엔,

마인드가 이해만이라도 하자라는 것으로 전공자들의 극복의지에 준할 수가 없는 상황으로 인해서

3년이라는 세월 이내에 회복되기에는 어려울 것으로 보여요.

전공하는 당사자들이라면 발등에 불이 떨어졌다고 죽기 아니면 살기라고 해서 하루에 20시간씩 수학만

파고드는 경우라면 극복될 수가 있으나 님의 경우에는 지금 현재 원래 전공하고 있는 부분이(밝히시지

않으셔서 모르겠으나, 대략 문과 과정으로 사회 과학이나 인문학들 중 하나라고 추정됨) 여기에 개입이

되어서 힘들면 그냥 그만두지라는 식으로 공부를 하게 되는 경우들이라 사생결단식의 공부는 더 힘들

것으로 보이거든요.

뒤에 강이 있고 앞에 적이 있다면 죽자살기로 싸워서 목숨을 구할 수가 잇는데, 뒤에 퇴로가 굳이 있다면

죽자살기로 싸울리는 없잖아요.....

냉정하게 보셨으면 좋겠습니다.

제가 문과생이고 전 직접적으로 수학을 대학에서 배우는 사람이 아니라 직접 집에서 수학을 독학에만

의존해서 내 스스로가 선생이 되고 제자가 되어서 내 혼자의 힘만으로 수학을 공부하고 있습니다. 그렇기

때문에 냉정하게 수학을 공부를 합니다.

기본이 부족하면 바로 바닥부터 공부를 해야만 합니다.

그게 답이에요. 높은 곳으로 있는 수학들을 공부를 하면 당연히 힘든 것이 당연한 일이고, 깨진 상태에서

물건을 담으려고 하면 여기저기서 물이 새는 것은 당연한 일입니다.

님, 수학은 정말 방대하고 매우 기초적인 것부터 시작하여 이야기들이 시작이 되는 것입니다.

기반 시설이 부실한 늪지대에서 건물을 지어본들 그 건물이 건실하겠나요???

같은 문과출신이고 수학을 좋아해서 대학 수학들을 공부하는 입장에서 제가 정말 진심으로 당신에게

냉정하게 현실을 말하는 거에요. 님은 일단 기본실력이 많이 부족해요. 문과 출신이라서 더 심하게 작용하

는 거에요.

대략적으로 님이 지금 가지고 있는 문제들은 기초가 있는 상황이라면 별 문제가 없는 상황이에요.

불친절한 영어 교재라고 말씀을 하시는 부분에서는 조금 의문스럽군요? 한국어로 된 교재들에 비교해서

훨씬 친절한 교재가 바로 영어 원서들입니다.

우선 제가 기반 실력을 키우는 길을 간략히 소개할께요.

 


 


 


 


 


 


 


 


 

이건 수학 독본이라는 책으로, 중고등학교 수학개념 전반을 다루고 있으며 대학 수준의 개념들을 아주

쉽고 친절하게 설명한 책이기도 합니다. 님에게 필요한 것은 기본 개념이에요. 솔직히 님의 글에서 보이는

이과수준의 수학을 독학했다라는 의미와 뒤에 이어지는 내용들과 지금 님께서 고민하는 부분으로 봐서는

하루 3~4시간만을 수학2와 미분적분에만 초점을 맞춰서 공부를 반년 정도 가량을 조금 하고 난 다음에

바로 수학과로 지원을 했다라는 답이 나와요.

일단, 하루 3~4시간이라는 부분에서는 이 기간이 과연 하루 평균 시간일지 아닐지는 좀 의문스러운 부분

들이지만요. 님, 일단 수학도본을 가지고 기초를 잡아보세요. 여기에는 고등학교와 대학교 개념 일부를

전반적으로 다 다루고 있습니다. 가장 기초적인 것부터 다루고 있기 때문에 님에게 부족한 개념들을

잡을 수가 있어요.

대략적으로 님의 의문점들이라는 것을 봐서는,

고등학교 수학 10-가와 10-나에 대한 기본 개념이해가 잊혀진 상태에 가깝고, 수학1에 대한 것들도

심층적으로 이루어지지 못했었습니다. 그리고 님의 수학에 대한 동기들도 강력하지를 않구요. 문제

풀이를 위한 문제들에 대한 것들은 물론이거니와 문제에 대한 풀이 과정에서의 심층적인 이해부분에

관련해서는 앞서 있던 지식들의 이해 부분들이 부족해서 누적된 결과들이라고 보여요.

전 초등학교 3학년 수학부터 시작을 했어요^^

하루 2시간을 잘때도 잇거나 2~3일을 밤샘을 한 적도 많았구요. 얼마나 고생을 했었는지.... 지금은

4~5시간을 잠을 자거나 해서 공부를 하지만, 지금도 꾸준히 공부를 해요. 왜냐면, 꾸준히 해오는 것이

중요하고 기본이 중요하니까요.

님, 기본은 중요합니다. 기본이 없는 상태에서 누적된 이해의 부재들은 나중에는 님, 지금 보다 훨씬

심각한 문제들을 가지게 되버려요.

 


 


 


 


 


 


 

수학 독본을 공부하면서 수학2에 대해서는 이 책이 가장 기본을 잡기에는 아주 적당하다라고 봅니다.

사실, 해석학에 대한 이해들은 기본적으로 수학 10-가, 10-나, 수학1, 수학2, 미분적분이 모두 통합이

되어서에요.

님이 지금 말하고 있는 해석학은 아마도 real analysis라고 봅니다. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

위의 것들은 제가 고등학교 공부들을 해왔던 과정들과 집합이론 대학 입문서를 그대로 손으로 베껴가면서

공부했던 과정들을 예시로 보이기 위해서 극히 일부분을 찍은 거에요. 3년 동안 몇 천장씩이나 저 지랄을

하면서 공부를 했었는지......

님 솔직히, 수학 이과 수준의 수학을 독학을 했다라는 것에서 조금문제가 있어요.

거기에서 문제가 시작이된 거라고 판단이 됩니다.

대부분의 문과 출신들이 이과로 가거나, 그쪽 공부를 하면서 토로하는 부분들을 보면 다 기본이 없어서

생기는 문제들이에요. 기본이 없다면, 그 어디에도 지속적 발전을 꾀할 수가 없어요. 그건 사치라고 해야할

거에요.

나는 기하학 기초를 알기 위해서 초등학교 3학년의 삼각형에 대한 기초부터 공부를 했었고 영어 기초를

공부하기 위해서 초등학교 졸업반 영어 문법 총정리들을 보면서 바닥부터 공부를 햇었습니다. 왜라고

보셔요?? 기초가 없으면, 발전 가능성이 없기 때문이에요.

귀류법에 대한 설명들이나 혹은 그에 대한 증명의 힘들에 대해서는 이미 고등학교 과정들에 관련 서적들

에서 풍부하게 설명을 하고 있습니다. 아니지요, 이건 중학교 2학년 3학년 교재들에서부터 언급을 하기

시작하는 것들이니까요. 점화식 기억하나요???

해석학은 상당수가 이 기본적인 수학들에 기반을 두고 있습니다.

함수들의 연속성이나 함수의 특수한 형태인 수열에 대한 극한과 연속 개념들에 대해서는 이미 고등학교

1학년 교과서에서 설명을 하는 것으로, 정의역과 치역 등의 개념들에서 부터 이미 시작을 합니다. 이

설명들은 이미 고등학교 10-나 수학의 정석 함수 파트에서 잘 설명을 했어며, 함수의 의미들에 대해서

아주 친절하게 설명을 해놓았지요.

더구나, 함수의 여러가지 성질들과 집합이론의 성질들에 대해서의 결합 부분에서 극한의 개념들과 그

수학의 의미들은 저 수학2- 비유와 상징 개념편에서 개념 정리들에서 이미 깔끔하게 기초들을 정리하여

이 설명들의 기반들이 모두 집합에서의 정의역에 대한 연속성의 차이와 접근법의 차이에서 생겨나는 것들

이라고 이미 말하고 넘어가고 있는 사항이기도 합니다.

귀류법에 대한 설명들과 그 원리들은 이미 수학1에 수열 파트의 후반부에서 알고리즘과 귀류법을 설명

하면서 점화식의 원리들을 설명하면서 이 원리들을 습득할 수 있도록 잘 설명이 되어 있답니다.

질문자님, 전 님을 돕기 위해서 내 진심의 조언들을 드리는 거에요.

이것들은 제 경험이자 삶의 깨달음이에요.

초등학교 수학부터 시작을 했으니까요..

냉정하게 말해서, 왜 문과출신들이 그렇게 바닥을 기는 상황까지 연출이 되면서 도움을 요청하면서

타계책을 선물을 해주어도 이해를 못하는 것일까, 받아 들일 수가 없는 것인가..... 너무 냉정하게 제가

노골적으로 찍어서 말했다면, 그것은 조금 님께서 현실을 바로 보시는 눈이 부족하다라고 말하고 싶어요.

수학을 공부를 직접 해본 사람으로 직접적으로 대학 수학들을 독학으로 공부해보는 사람으로 드리는

조언이에요.

바닥부터 이미 답이 나와있답니다.

집합이론에 대해서는 이미 중학교 교과서에서 1학년 교재에 잘 나와 있어요.

그곳에 기초의 기초가 있습니다. 그리고 고등학교 1학년 10-가의 초반부에 집합에 대한 설명들의 기초가

나오고 이를 기반으로 10-가를 기반으로 10-나로 확장이 되고 이것들을 기반으로 수학1-수학2로 연계가

되는 것이고 여기에서 대학 수학들이 미분적분학, 선형대수, 해석학, 기하학, 미분방정식, 미분 기하학,

집합이론, 군이론, 등등으로 확장이 되는 거에요.

그리고 명제에 대한 설명들은 10-가의 초반부에 명제 부분으로 잘 설명이 되어있답니다.

님, 지금 상황이 고등학교 개념의 전반적인 이해 부족이라는 것을, 님께서는 반드시 알아야만 해요.

거기에서 생겨난 기초 부족의 누적된 오류들은 지금 계속 앞으로 님이 지금 공부를 하면서 계속 나타날

거에요. 이건 내 경험이기도 하고 수학을 공부하고 과학을 공부하면서 느낀 점이기도 해요. 원래 전공인

세무 회계학과 경제학을 공부하면서도 그런 점을 잘 알아서 기초를 매우 중요하게 여기면서 공부를

하면서 다 극복을 하고 있어요.

기초는 지금 다시 말하지만, 중요합니다.

님께서 궁금해하고 의문스러워 하는 것은, 그러므로 나는 위의 과정들의 이유로 해서 기초가 부족한

것이라고 내가 규정을 할 수가 잇는거에요. 그리고 놀라운 사실 하나는, 논리학은 문과생 고등학교 2학년

교과 과목 의무 교육상 배우는 논리학이라는 교과서에 잘 나와 있답니다.

그건 모르셨죠??? 제가 고등학교 문과생 2학년 때 배웠던 그런 개념들이 사실 아주 중요했다라는 사실은

정말로 경이로울 정도로 우리나라의 교과 과정들의 구성들이 치밀하게 되어있다라는 것을 말하는 것으로

증거 자료로 삼을 만해요. 우리나라 교육부 정말 대단합니다. 지구의 교육 체계를 구성한 사람들이

정말로 대단합니다.

님, 지금 공부하고 있는 기준들의 기점들은 전부 고등학교 공부 과정에서 독학을 정말 제대로 했다면

고민할 필요가 없었던 문제였어요..... 

원서에 대해서도 조금 사고를 재고했으면 좋겠어요.

한국어보다 훨씬 원서들은 정말 경이로울 지경으로 방대하고 잘 되어있는 것들이 상상을 압도할 정도입니

다.......

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

위에 보시면 해석학 관련 서적들입니다.

real analysis가 바로 직접적인 님의 공부 과정에 쓰이는 것이지요

저 위는 입문서들이구요^^ 마지막의 경우에는 해석학에 관련된 활용 서적이라고 보시면 되요.

 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 


 

원서들이 불친절하다라고 생각을 하면 과감하게 바꾸세요.

저의 경우에는 독학에 정말 고마운 조력자가 바로 책이에요.

책은 우리들에게 고마운 조력자입니다.

마음에 들지 않으면 바꾸면 그만입니다.

교수는 마음에 들지 않아도 바꾸지 못하는 경우가 많으나, 책은 마음에 안들면 바꾸면 그만이잖아요?