수학은 진실인가(도와주세요)

수학은 군더더기가 없다고 하지요.
문제에 대해 답이 정해져있구요.

왜?라는 의문을 갖는 자세는 정말로 필요한 자세입니다.
배움, 학습에 있어서.

다만 과유불급이라 했듯이 지나친 의문은 역효과를 초래하지요.

어느정도가 지나치지 않은것인지 어디가 넘지 말아야할 선인지 교과서나 개념서는 충분히 알려주고 있습니다.

질문내용에서 언급된 의문점들은 분명히 기초개념서에서 원리를 다루고 이해시키는 작업을 시켜준 것들입니다.

따라서 배움을 시작하던 초심으로 돌아갈 필요가 있습니다.

수학은 최대한 이해시켜주기위해 따라올수있도록 안내해줍니다.

다만 그 타이밍을 놓친다면 본인의 잘못이지요.

가정에서 결과가 도출되고 가정이 진실(참)로 판정되는 경우도 많습니다. 그것은 편리한 길로 안내해주는 것이지 절대로 골탕먹인다거나, 수학을 어렵다고 인식시켜준다거나 하는것이 절대로 아닙니다.

따라오라는대로 따라가면 됩니다.
이해가 안가서 막힌다면 그것은 본인이 예전에 빼먹은 부분이 있다는 뜻이 됩니다.
돌아가서 익히고 이해하여야합니다.
이해심도 길러야합니다.

쓸데없는 의문을 가지면 멍청이 취급받습니다.
올해 정말로 지구멸망할까 랑 똑같습니다.

수학에서 무언가 설명할때 크게 두가지 방식이 있습니다.

하나는 원리설명 후 개념설명
또하나는 일단은 당연한것으로 간주하고 개념설명

두번째경우엔 나중에 왜 당연한것인지 원리설명이 나오기때문에 굳이 일찍부터 의문을 가질 필요가 없는거죠.

결국 지금의 수학은 완성된 그 자체로 보아도 괜찮습니다.
수학자가 될 것이 아니라면말이죠.

그러므로 '차근차근' 따라가기만 하면 됩니다.

님이 그 공식 만든 사람들보다 수학에 재능이 있다면 따라할 필요는 없죠.

님이 알아서 자기식대로 만들어서 쓰면 돼니까.

하지만 그렇게 하지 못하기 때문에 할 수 있는 사람들이 만든 걸 사용하는게 아닙니까.

 

한 사람이 평생을 바쳐서 공식 한두개를 만드는데 님은 공대과정에서 배우는 모든 수학이론에 대해서 스스로 공식을 만들 수 있어요? 안돼잖아요. 그럼 그냥 원래 있던걸 이용해야죠.

 

수학에 몸바친 철학자들이 만든 그 공식들이 틀릴 가능성이 존재하지만 님이 더 정확한걸 만들수 없다면 그냥 그거 쓰시고요 그래야 학점 잘받습니다. 너무 100%만 원하면 안돼요. 그 말대로라면 양자역학에선 모든 변수에 대해 확률이 100%가 될 수 없는데... 모든걸 못믿겟네요.

일단 지금 고등/대학 과정에서 쓰이는 '모든' 공식중에 오류가 있는 것이 있을 가능성은 내일 님이 잠자고 일어났는데 납치되어있을 가능성과 맞먹어요. 농담아닙니다...

 

그래도 왜 써야하냐고 물으신다면 그때는 할 말이 없게 되네요. 그냥 수학을 포기하시는게 어떨지.

 

네 질문자분이 말씀하신게 맞습니다. 수학은 어떻게보면 주관적인 것이고, 이것을 받아들이는 사람의 입장에 따라 달라질 수 있습니다. 말씀하신대로 수학이 모두 사실이 아닐 수도 있다는 것이지요. 하지만 지금 모든 인류는 현대의 수학을 진리로 받아들이고 있고 현재까지 오류가 발생한 적이 없습니다. 그렇기 때문에 아무런 문제 없이 이러한 수학을 사용하고 있는 것이지요. 그리고 수학쪽보단 사실 과학쪽에서 페러다임에 대한 변혁이 많이 깨지고 있는데요... 사람들이 많이 알고 있는 것들 중 하나가 지동설과 천동설이죠... 옛날 사람들은 모두 천동설을 믿었지만 결국 후세의 사람들이 결론짓기를 지동설이 진리다. 라고 밝혀졌죠... 이것 외에도 과학분야에서는 틀린 것이 꽤 있습니다. 지금도요.. 하지만 그것은 우리가 사용하는데 아무런 문제가 없고, 또 미미할 수 있는 차이이기 때문에 사용 하는 것입니다. 저도 사실 수학이 "진리" 라는 느낌 때문에 수학을 엄청 좋아했었습니다. 하지만 대학교에서 배우는 내용들은 사실 이렇지 않은 내용들도 많습니다. 고등학교도 마찬가지고요. 고등학교때 배우는 오류들 중에 하나가 질량 보존의 법칙인데요. 사실 질량은 보존되지 않습니다. 이것은 아인슈타인이 증명하였고 지금 사람들은 이것을 다 진리로 받아들이고 있습니다. 그런데 왜 고등학교에서는 질량보존의 법칙을 가르치는 것일까요? 그 이유는 사실 질량의 변화는 실상의 사용에서 아주 미미합니다. 그래서 오차로서 받아들일 가치조차 없는 것이지요. 그렇기 때문에 질량 보존의 법칙을 배우고, 실제 대학교에서도 이것은 진리처럼 받아들여지고 사용되고 있습니다. 그리고 수학적으로 그래프를 그린는 것들이나 표시하는 방법들은 무궁무진하게 많습니다. 하지만 사람들이 많은 기호들을 사용해보고 한 결과 지금 저희가 배우고 있는 수학 체계가 잡혔다고 생각할 수 있습니다. 사람은 혼자서 살순 없잖아요? 그러니까 모두가 통용으로 하는 것을 배워야 겠지요.. 수학을 다른말로 과학의 언어라고 하는 사람들도 있습니다. 우리가 지금 이 한글을 사용하는 것도 마찬가지로 이것이 진리는 아닙니다. 한글도 있고 영어도 있고 이세상에는 여러가지 언어가 존재하지요. 하지만 저희는 한글이라는 통용화된 언어체계를 가지고 사람들과 의사소통 하고 있습니다. 수학도 마찬가지에요. 과학을 기술하기 위해서는 수와 관련된 여러 기호와 문자체계가 필요합니다. 그것을 표현해주는게 수학이라고 생각하시면 됩니다. 저희가 쓰는 표현들은 님이 편한대로 다시 표현하셔서 사용하셔도 됩니다. 하지만 그렇다면 서로 의사소통이 되지 않겠죠? 그리고 의사소통이 되지 않는다면 그것은 결국 고인 물에 불과하여 썩게 될 것입니다. 한명이서 하는 것은 한계가 있으니까요. 몇천년동안 발전시켜온 학문인데요... 그리고 속력이나 넓이 관련된 것은 아직 님이 과학적 마인드나 단위체계에 대해 이해가 부족해서 그런 의문이 드는 것입니다. 차원이라는 말을 많이 들어보셨죠? 세상은 무슨 몇차원이다 이런식으로요... 과학에서는 기본적으로 차원을 몇가지로 정해놓고 그 차원들을 통해 수치를 분석합니다. 예를 들면 속도같은 경우에는 기본 차원이 거리와 시간이 되는 것입니다. 이 두 차원을 가지고 조합하여 속도와 움직인 거리와의 관계를 나타내는 것입니다. 그렇다면 이것을 왜 하는 것일까요? 그건 당연히 어떠한 물체가 움직이고 그 움직임에 대하여 더 자세하게 서술하고 싶어서 그런 것입니다. 실제로 매 초당 이동한 거리를 측정하여 기록을 하여도 문제가 없습니다. 하지만 그렇게 되면 어떠한 면에서는 매우 복잡하겠죠? 하지만 등속운동, 등가속도운동등 상수 하나로써 모든 운동을 기술할 수 있는 방법들이 있습니다. 그래서 사람들은 이렇게 기술하는 방법을 택한 것입니다. 뭐 님이 예로 든 y=ax+b 같은 경우도 애초에 함수는 이렇게 하자고 사람들이 정의를 내렸습니다. 그 이유는 앞에서 설명드렸듯이 이게 여태까지 사용해왔던 것들 중에 가장 편리했기 때문입니다. 그리고 x와 y와의 관계를 분석하고 그에 따른 상수들을 조사한결고 a는 직선의 가파른 정도에 관련되 있다는 것을 또 분석해낸 것이지요. 그래서 이것을 새롭게 기울기라 명명한 것입니다. 그렇다면 기울기라는 것을 명명하면 뭐가 좋을까요? 하고 생각할 수도 있겠지만... 기울기를 정의함으로써 저희는 위 식을 보고 해석을 좀 더 빨리 할 수 있게 됩니다. 저 그래프에 대해서요... 만일 저게 기울기라는 것을 몰랐다면 x에 대한 y를 전부 대입하보고 그려야겠었죠? 하지만 기울기와 와이절편만 알면 직선의 그래프는 그릴 수 있다는 것을 알기 때문에 저것들을 정의하고, 손쉽게 이용하는 것입니다. 그리고 넓이에 관한것도 말씀드리면 저희 세계는 제가 아는 범위내에서는 공간적으로 3차원의 범위에 속하고 있습니다. 그리고 3차원의 물질의 크기를 표현하기 위해서는 저마다의 고유 값들 가지고 있을 것입니다. 크기에 대한요... 이것을 위에서 말씀하신 새로운 차원으로 정의할 수도 있을 것입니다. 하지만 그렇게 되면 길이와 부피는 서로 독립적이지 않게되겠죠? 길이가 늘어나면 부피가 늘어나는것은 당연한거잖아요... 그러면 이 둘은 서로 관련이 있다는 것이고 그 말은 하나로 표현이 될 수 있다는 것입니다. 굳이 여러개를 정의하지 않더라도요. 뭐...질량과 부피와는 아무런 관련이 없잖아요... 물질마다 밀도가 다 다르니까요... 그러니까 따로 정의를 못하고 독립변수로 정의했지만 길이와 부피는 관련이 있고 길이의 3차원의 값이 부피이고, 길이의 2차원 값이 넓이라는 것을 사람들이 알아냈고 이것 또한 진리라고 믿어지기 때문에 그렇게 사용하고 있습니다. 그렇다면 이제 길이를 2개 사용해서 넓이를 정의하고, 길이를 3개 사용해서 부피를 정의하는 방법을 사람들 고안해내야겠죠? 그래서 사람들은 가장 간단한 방법으로 사각형에서 가로와 세로를 곱할때를 넓이다 라고 정의를 내렸습니다. 이 정의에 대해서는 맞는지 틀린지 말씀드릴 수는 없습니다. 저희는 정의를 이렇게 내렸기 때문에 이걸로 모든 이론을 풀어나갔고, 만일 다른 행성에서 이렇게 정의하지 않고 쓰고 있다면 그것은 그쪽 나름대로의 정의가 있을 것입니다. 그렇다면 이 정의가 맞는지 틀린지는 어떻게 알까요? 사실 그것은 직관적으로 알 수 있습니다. 어떠한 직사각형이 있다면, 그 직사각형에 대한 정보는 오직 가로길이와 세로길이에 대해서만 정의될 수 있습니다. 좀 쉽게 설명하자면 어떤 직사각형을 그릴 때 가로의 길이와 세로의 길이만 알면 그릴 수 있는 말입니다. 그렇다면 이 두 값만 있으면 직사각형이 정의되니까 이 값들을 이용해 넓이를 나타내면 됩니다. 가로의 길이를 a라고 하고, 세로의 길이를 b라고 합시다. 그렇다면 넓이 S=ab 라고 정의 했는데요, a+b도 될 수 있고 a-b도 될 수 있는데 왜 ab라고 정의했을까요? 그 이유는 바로 비율 때문입니다. 만일 넓이를 a+b라고 정의했다고 칩시다. 그리고 세로길이가 b에서 b+h로 늘어났다고 하면, 그 넓이는 a+b+h가 될 것입니다. 그런데 넓이의 증가율과 저 두 값의 증가율은 다릅니다. 위 식은 h가 증가했지만 실제 크기를 비교해보면 그만큼의 비율이 증가하지 않았다는 것을 알게 됩니다. 그리고 사람들은 차원이 증가함에 따라 그 차원은 곱으로 표현해야한다는 것을 알게 된 것이지요. 이 이유에 대해서는 저도 정확한 지식이 없으므로 어떻게 말씀드릴 수가 없네요. 그리고 더 나아가 차원에 대해 미분적분이라는 새로운 연산을 통해 더 복잡한 도형들을 표현해낼 수 있게 된 것이고요... 그리고 미분 적분이 발견되기 이전의 사람들은 사실 이론은 잘 모르더라도 직관적으로 사용을 했을 것입니다. 원의 넓이는 반지름의 제곱에 약 3.14를 곱하니까 되더라 이런식으로요... 그리고 이것은 틀리지 않았기 때문에, 더 정확하게 말하면 실상에서 사용하는데 아무문제가 없었기 때문에 아직도 파이를 3.14라고 사용하기도 하는 것입니다. 사실 파이는 무리수여서 값은 무한소수죠... 완벽하게 정확한 값은 구할 수가 없습니다. 그리고 고민하시는 것들 중 하나가 공리 즉 페러다임(동치인지는 정확하게 모르겠습니다. 저는 페러다임이라는 말을 많이 들어서요)이 변한다면 이론이 완전히 바뀔 수 있지 않느냐고 말씀하시는데 물론 그럴 수도 있습니다. 어느부분에서는요. 하지만 현재 사용하고 있는 과학과 수학은 오류가 거의 발견되지 않고 있습니다. 언젠간 발견될 수도 있지만요. 그렇다면 그것은 다시 바뀌고 재정비가 되어야 할 것입니다. 하지만 저희가 쓰고 있는것은 지금 저희의 지식으로는 진리입니다. 어떻게 반박할 수가 없지요. 만일 외계인이 와서 저희가 계산한 값을 그들이 계산한다면 아마 저는 값은 똑같을 것이라고 생각합니다. 왜냐하면 이러한 결과들로 아무런 문제가 없었고, 결론이 나기 때문이죠. 물론 그 해답을 통해 가는 길은 다를 수도 있겠죠...네...하지만 저희는 지금 사실이 맞고 절대 거짓으로 만들어진 것이 아닙니다. 님이 옛날 사람들이 만든 이론을 거짓이라고 생각하는 것 자체가 어떻게 보면 모순이지 않나요? 이 이론이 맞는지 모르는 것과 거짓이라는 것은 같지 않습니다. 지금 저희가 사용하고 있는 이론들은 100%로 맞다고 저는 생각하고 다른사람들도 생각하지만 뭐 신이 보기에는 틀린 부분이 있을 수도 있겠죠...그렇지만 그것은 지금저희는 모르고, 그것은 결국 틀리지는 않았다는 말입니다. 그렇기 때문에 계속 사용할 수 있는 것이고요. 몇달전? 그쯤에 어떤 연구소에서 빛보다 빠른 물질이 발견될 수도 있다고 신문에서 막 나왔었죠? 사실 보통 사람들이 보기에는 이 연구는 진짜 소위 말하는 돈지랄하는 연구일 수도 있습니다. 빛보다 빠르다고 뭐가 달라지는 것은 없잖아요? 보통 사는 사람들에겐... 하지만 이게 연구하는 사람들에게 중요한 이유는 아인슈타인이 이론을 세울때 정의한게 이세상에 빛보단 빠른 물질은 없다. 라고 정의를 하고 이론을 만들어냈습니다. 그런데 빛보다 빠른 물질이 있다는 것은 이 이론의 뿌리를 송두리째 흔드는 것이지요... 한마디로 공리가 바뀌는 것입니다. 엄청난 일인것이죠... 그래서 사람들은 오류가 없는지 계속해서 실험하고 정확한 발표를 하기 위해서 아직도 연구를 하고 있는 것이겠죠? 만일 그게 진짜라면 여태까지 저희가 해왔던 이론들은 모두 거짓이 되는 것이니까요... 하지만 이 이론이 거짓이라고 판명이 날지라도 이 이론은 현재의 사회에서 이용하는데 큰 문제가 없었고, 많은 이익을 가져왔기 때문에 계속 사용하게 될 수도 있습니다. 질량보존의 법칙 같이요...흠... 끝내는 것을 어떻게 끝내야 할지 모르겠는데....뭐 예전에 잘못사용됐던것들도 엄청 많습니다. 한가지 말씀드리면, 전기회로에서 모든 전류의 방향은 +에서 -방향입니다. 근데 사실 도선에서의 전류는 전자의 움직임에 따라 흐르므로 -에서+로 흐르는 것이 맞습니다. 하지만 과거 과학자들은 전류는 +에서 -로 흐른다라고 정의하였고 이 정의를 기초로 많은 이론을 만들었기 때문에 아직도 전류는 +에서 -로 흐르는 것이 양의 방향이다 라고 생각하고 사용하고 있습니다. 물론 양과 음은 정의하기 나름이라서 저것이 틀렸다고는 할 수 없지만, 그래도 보통의 상식과는 다른 반대의 상황이 된 것이죠...그러니까 결론을 말씀드리자면! 지금 배우고 있는 것들은 거짓이 아닙니다. 하지만 참이라고 100퍼센트 말씀드릴 수도 없습니다. 그리고 가장 중요한 것은 여태까지의 경험상 그것들은 진리라는 것입니다. 그리고 앞으로도 진리일 가능성이 매우 높고요... 그렇다면 충분히 배울 가치는 있지 않을까요? 너무 길게써서 읽기 힘드시겠네요...