확률과통계 질문입니다.

1번 

 베타분포의 정의역을  이라고 해봅시다. 

:(사실 폐구간으로  해도 상관없지만, 이러면 풀이가 좀 길어질 것 같으니 그냥 이렇게 제한합니다.)

 그리고 주어진 베타분포의 pdf에 로그를 취해봅시다.

: 이유는 로그함수가 Monotone increase 이기 때문입니다. 즉, 베타함수에서의 최대값은 베타함수에 로그를 취한 함수의 최대값이 됩니다. 이 성질을 이용해 봅시다.

 이걸 미분을 해 봅시다. 일단 확률밀도함수가 0이 되는 경우를 정의역을 제한하면서 없에 버렸습니다.

(사실, 정확히 하면 이러면 안됩니다. 근데 이렇게 해도 답을 구하는데는 지장은 없기 때문에 그냥 합니다.)

 즉 저걸 미분하면 도함수가 0이 되면 끝나는 문제입니다. 임계점만 찾고 그 임계치가 유일하면 

그 점이 곧 최대치(혹은 최소치)가 될 개연성이 매우 높기 때문이죠. 미분하면,

 로 구해집니다. 이때, 함수가 최대입니다.

 (사실, 여기서 최대가 되는지 확인하기 위해 한번 더 미분을 해서 이계도함수의 부호도 봐야 하지만 

원래 beta dist는 convex function 이 아님을 감안하여 그냥 이 과정은 생략했습니다.)

2번

 2-1) 베타분포의 pdf는 다음과 같이 주어집니다.

 , 이놈들의 평균 분산은 다음과 같습니다.

 이때 평균이 0.6 분산은 0.04 입니다. (표준편차의 제곱) 즉,

 입니다. 이 값을 알면  2번은 함수에 대입만 하면 되니 자동으로 해결됩니다.

근데 3번.... 베타분포의 cdf 를 구하라는 소리인데 수통하면서도 해본적이 없던지라 해봤는데....

이건 우리가 보통 아는 일반적인 깔끔한 함수로는 안 나타날것 같네요 ;;; 

 ( 그래서 위키에서 찾아 보았는데 cdf는  이고,  입니다. 

 저걸 이해하려면 그냥 이항분포의 관점으로 보는게 더 편한 것 같습니다. 이항분포는 모수의 초점을 어디에 두느냐에 따라서 베타분포로도 볼 수 있으니까요. 그래서 cdf를 저렇게 표현 한 것 같네요. 그 밖에 자세한 건 저도 잘 모르겠습니다.)

2-4번 : 구해야 되는 것은  입니다.

저걸 이항분포로 계산 해 보면

 를 계산하면 끝납니다.

구해보니 5/16 이 나오네요.

3번 

요건 생각보다 간단한건데 정의역이  이라는 점에 착안합니다. 즉, 요 안에서 어떤 값 x를 잡고 그걸 확률로 보는 것이지요. 그리고 베타분포는 이항분포로 볼 수도 있다고 했습니다. 사실 여기까지 볼 수 있으면 90%가 끝난겁니다. 이항분포는 확률값에 대해서 대칭인 분포입니다. 무슨 소리냐면, 우리가 관심있는 성공률을 p라고 놓고 볼때와 1-p라고 놓고 볼 때를 비교하면 p=0.5에 대해서 서로 대칭되는 형태의 분포가 나오기 때문입니다. 어떤 한 이항분포로 놓고 보았을 때 p입장에서 성공이 일어나는 횟수 = 1-p 입장에서 실패가 일어나는 횟수 이기 때문이죠. 그렇기 때문에, X 대신 1-X 입장에서 볼 때 저 두 모수가 바뀌어도 분포가 바뀌지 않은건 당연한 겁니다.

 이 말이 이해가 안된다면 그냥 다른방법을 쓰면 됩니다. 직접 구하는거죠. 저 두개를 같다고 두고 양변을 적분하면 됩니다 X= 1-Y치환적분을 해 보면 끝나는거죠~ 간단한 것이니 이 풀이는 생략합니다.