편미분, 별거 아닙니다. 그냥 한 변수만 변수 취급해주고 나머지는 상수처럼 생각하는 게 바로 편미분이죠.
쉽게 이야기해서, 미분가능한 함수 f(x)가 f(x+y) = f(x) + f(y) 를 항상 만족한다고 합시다.
그러면 a가 상수일 때, y = a 를 대입하면 f(x+a) = f(x) + f(a) 이고, 양 변을 미분하면 f'(x+a) = f'(x) 입니다.
그런데 사실, 처음부터 y가 x와 무관한 변수라고 가정하면, 굳이 'y에 어떤 상수를 대입한다'는 사고과정을 거칠 필요 없이 곧바로 그냥 f(x+y) = f(x) + f(y) 를 미분해서 f'(x+y) = f'(x) 를 얻을 수 있습니다.
그리고 이처럼 한 변수를 뺀 나머지 변수들을 처음부터 무관한 변수 혹은 상수 취급해서 미분하는 것을 편미분이라고 합니다.
사실 지금까지의 예제만으로는 뭔가 감이 잘 안 오실 겁니다. 왜냐하면 위의 예제는 결국 편미분의 결과가 그냥 쌩짜로 미분한 결과로 돌아왔으니까요. 사실 편미분은 다변수함수를 다룰 때 좋습니다.
예를 들어서 y가 F(x, y) = 0 이라는 방정식을 통해서 x에 대한 음함수로 정의되었다고 합시다. 그러면 dy/dx 를 F에 대해 나타낼 수 있을까요?
식 F(x, y) = 0 은 말 그대로 2변수함수 F(x, y)의 함수값이 0이 되는 지점들을 모아둔 것입니다. 예를 들어서 F(x, y) = x² + y² - 1 이라면, F(x, y) = 0 의 자취는 단위원이 되겠지요.
이제 y가 x에 대한 음함수라고 합시다. F(x, y)의 변수로서의 x, y와 y = y(x) 라는 음함수 관계로서의 x, y 사이에 혼란이 온다면, 편의상 y = f(x)가 우리가 찾은 한 음함수라고 합시다. 그러면 F(x, f(x)) = 0 이 성립합니다. 이 식은 x에 대한 항등식이므로, 양 변을 x에 대하여 미분할 수 있습니다. 그리고 이때 편미분의 진가가 발휘됩니다. 고등학교 과정은 아니지만, F(x, f(x))의 미분은 다음과 같이 주어집니다.
∂F/∂x + f'(x)∂F/∂y
단, 위 식에서 ∂F/∂x 와 ∂F/∂y 는 각각 F를 x와 y에 대해 편미분한 결과를 (x, f(x))에서 계산한 값입니다. 그런데 이 값은 0을 미분한 것과 같으므로, 결국 0이 됩니다. 따라서
∂F/∂x + f'(x)∂F/∂y = 0
으로부터
f'(x) = -(∂F/∂x)/(∂F/∂y)
가 성립합니다. 예를 들어서 아까 전의 예제 F(x, y) = x² + y² - 1 를 생각해보면
∂F/∂x = 2x, ∂F/∂y = 2y
이므로, 이를 (x, f(x))에서 계산한 결과는
∂F/∂x = 2x, ∂F/∂y = 2f(x)
가 됩니다. 따라서
f'(x) = -2x/2f(x) = -x/f(x)
입니다. 실제로 f(x) = ±√(1 - x²) 을 대입해보면 같은 결과가 나옵니다.
