[오늘의 과학] "완전수의 약수의 역의 합은?" 수학자 최은미님이 지식iN...

수식으로 다 썼습니다.

글이 나오기도 전에 답변을 달게 되는군요. 이번 글도 재밌는 글이 됬으면 합니다.

 

모든 완전수의 약수의 역수의 합은 항상 2가 됩니다.

 

이를 증명해보겠습니다.

 

완전수는 를 만족시키는 자연수 n으로 정의됩니다.

 

증명하기 전에, n의 모든 약수의 역수의 합을 구하는 함수를 생각합시다. 이 함수를 라 쓰기로 합시다.

 

이 때 이 함수의 일반항을 유도해봅시다.

 

n이 꼴로 소인수분해된다고 합시다. (은 소수, 은 자연수)

 

이 때 n의 약수들의 역수의 합은 과 같습니다.

 

(이유를 말로 설명하긴 좀 힘들지만, 약수 개수 구할때처럼 표를 쓰는 것과 같은 원리라 보면 됩니다. 예를 들어 2*2*3의 약수들의 합은

	1	2	4
1	1	2	4
3	3	6	12

 

위와 같이 표를 그려 약수를 다 구한 뒤, 더하는 식으로 구할 수 있습니다. 여기서 이를 일반화시키면 위 식을 얻을 수 있습니다.)

 

 

그런데 p가 소수이면

 

입니다. 여기서 양변에 1/p를 곱하면

 

 

두 식을 빼면

 

 

양변을 1-1/p로 나누면

 

과 같습니다.  이제 우리는 임의의 정수 n에 대해

 

 

로 쓸 수 있습니다. (n=, 은 소수, 은 자연수)

 

 

이제 본 명제를 증명합시다.

 

약수 합 함수로 주어집니다.

 

(이는 위에서 나온 '표 그리기'와 등비급수 일반항 공식에서 유도됩니다. 이는 위의 '약수 역수 합 함수 일반항 유도'와 비슷하게 하면 되므로 증명은 생략합니다.)

 

여기서

 

 

 

이때 완전수의 정의 를 대입하면

 

입니다.

 

그러므로 모든 완전수의 약수들의 역수의 합은 2입니다.

 

수학과를 이번에 졸업한 학생입니다..

 

제생각엔,

 

먼저 완전수란. 자기 자신을 제외한 완전수의 약수들의 합이 완전수 자기 자신이 나와야 합니다.

 

그럼 이제부터 문제들 풀어 보겠습니다.

 

완전수의 역수라하면,

 

   1+ 1/(n/a) + 1/(n/b) + 1/(n/c) + 1/n .....(여기서 a,b,c,...,1=n의 자기자신을 제외한 모든약수)

 

= 1+  a/n + b/n + c/n+ ..... +1/n

 

= 1+ (a+b+c+...+1)/n

 

여기서, 완전수의 정의에 의해서 ,

 

(a+b+c+....+1)=n이므로

 

결론은 =1 + n/n=2!!!

 

간단하게 증명해봤습니다...위에 있는건 너무 복잡한 식인거 같아서욤..

 

 

 

당연히 2가 됩니다. 가장큰 약수인 자기자신으로 통분을 하면 분자의 합은 (자기자신)과 (자기자신을 제외한 모든 약수의 합)의 합이 되고 완전수의 정의에 의해 자기자신을 제외한 약수의 합이 자기자신이 되므로 약분을 하면 2가 됩니다 당연히

 

	1	2	2^2	..............	2^(m-1)
1	1	2	2^2	..............	2^(m-1)
2^m-1	2^m-1	2*(2^m-1)	2^2*(2^m-1)	..............	2^(m-1)(2^m-1)

 

아직은 고등학생이라 고차원적인건 못하겠고...

아는 방법대로 풀어봤습니다....