1차 방정식의 근의 공식
ax+b=0, x=-b/a
2차 방정식의 근의 공식
- ax2 + bx + c = 0, 단, a, b, c는 실수이고 a가 0이 아닐 때, 이 방정식의 두 해 x1, x2는
-
이다.
3차 방정식의 근의 공식 [출처 - 위키피디아]
일반적인 3차 방정식의 대수적 해법은 카르다노의 방법 혹은 카르다노의 공식으로 알려져있다
- a3x3 + a2x2 + a1x + a0 = 0(a3≠0)
을 a3 로 나누고
- x3 + A2x2 + A1x + A0 = 0
의 형태로 만든다 다만
에 의해서 변수 변환을 실시하면
와 같이 2차항이 사라진 방정식을 얻을 수 있다. 보기 쉽게 일차의 계수를 p, 정수항을 q로 하여서
- y3 + py + q = 0
이라고 쓴다 한층 더
- y = u + v
라고 두면
- u3 + v3 + q + (3uv + p)(u + v) = 0
여기서
- u3 + v3 + q = 0
- 3uv + p = 0
가 된다 u , v 을 찾으면 거기에서 y 의 값이 구해진다 이 두개의 식으로 부터 v 을 소거하게 되면
이 식은 u3 에 관하여 보게된다면 2차 방정식이므로 공식으로부터
-
-
u 와 v 은 대칭이므로 이 두개의 해의 한쪽을 u3 에 있으면 다른 한쪽은 v3 이 된다
각각의 세제곱근의 합으로서
이 구해진다 이 해법이 발견된 당시에는 아직 복소수가 알려지지 않았기 때문에 이 방법으로 해를 찾아내었으나, 이후 복소수에 관한 연구가 진행되어 :x3 = a 의 해가 ω 를 1 의 세제곱근으로서
의 3개가 있는것이 알려지게 되었고 u 의 세제곱근을 취할 때에도 마찬가지로 3개의 경우를 생각하게 되어서 각각 대응하는 v 를 요구하는 것으로
해로서 알려지게 되었다
또한
- x3 + y3 + z3 − 3 x y z
- = (x + y + z) (x2 + y2 + z2 − z x − x y − y z)
- = (x + y + z)(x + ω y + ω2 z)(x + ω2 y + ω z)
인수분해로도 카르다노의 방법을 설명 할 수 있다
- y3 + z3 = q
- −3 y z = p
와 두어두면 p, q 로부터 y, z 을 요구하는 것으로
- x3 + p x + q
- = (x + y + z)(x + ω y + ω2 z)(x + ω2 y + ω z)
이렇게 되는 3차 방정식을 인수분해로 계산해낼 수 있다. 이 방법은 카르디노의 방법과 같다.
4차 방정식의 근의 공식 - [출처 - 위키피디아]
- ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
이 방정식에서 양변을 x의 최고차항인 a로 나눈 다음 라고 두면 y4 + py2 + qy + r = 0 꼴로 정리할 수 있다.
y4 + 2py2 + p2 = py2 − qy − r + p2 에서 py + p2 를 더하면
-
(y2 + p)2 = py2 − qy + p2 − r.
그러므로 임의의 z 에 대해서
이제 우변이 완전제곱(판별식)이 되도록 z 를 취하자. 그 경우는 다음과 같은 때이다:
이 하나를 z1로 하면
가 되므로 2차방정식의 근의 공식을 이용해 4차방정식을 풀 수 있다.
5차 방정식 및 그 이상..
근의 공식은 4차 방정식 까지만 존재하며 5차 이상은 존재하지 않습니다. 이는 수학자 '아벨' 이 증명 해냈었습니다.
※ 근의 공식이 없다는 것이지 근 자체가 없다는 것은 아닙니다!!
