수학 상 평면좌표 & 도형의 방정식 질문 (문제 풀이)

1)

그냥 곡선위의 점을 (t, (1/4)t²) 이라고 두면

l은 t에 관한 함수 형태로 나타나게 됨.

루트가 있으므로 l보다는

l²을 구하면 이는 t에 관한 다항식으로 나오게 되고 분석이 용이함.

l²이 최소일때 l이 최소이므로

l²이 최소인 경우를 찾아서 그 때의 l값을 구하면 됨.

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A(0,a)와 포물선의 점 (t, (1/4)t²) 의 거리의 제곱을 f(t)라고 하면

f(t) = t² + {(1/4)t²-a}² = (1/16)t⁴ - {(a/2) - 1}t² + a²

f'(t) = (1/4)t³ - (a-2)t = (t/4){t² - 4(a-2)}

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a≤2 일때는 t = 0일때 최소값 a를 가지게 됨.

a＞2 일때는 t = ±2√(a-2)일때 최소값을 가지고 그 값은

√{4(a-2) + {(a-2)-a}²} = √{4a-8+4} = 2√(a-1) 이 됨.

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0＜a≤2일때 a, a＞2일때 2√(a-1)

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2)

A에서 거리가 같은 점의 집합은 A를 중심으로 한 원의 형태가 됨.

A를 중심으로 동심원을 반지름을 늘리며 그려나갈때 처음 접하는 순간의 반지름이 거리의 최소값임.

즉, x²+(y-a)² = r² 과 y = (1/4)x² 이 접할때의 r값이 거리의 최소값임

x² = 4y이므로 (y≥0)

4y + (y-a)² = r²

y² - 2(a-2)y + a²-r² = 0

D/4 = a²-4a+4-a²+r² = 0

r² = 4a-4

그런데 중근은 0이상이어야 하므로 a≥2 일때만 접할때가 됨.

a＜2일때는 y² - 2(a-2)y + a² = r² 에서 y≥0 범위에서 좌변의 최소값은 y = 0일때의 a²임

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따라서 r의 최소값은

0＜a＜2 일때는 a

a≥2 일때는 2√(a-1)

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※ a = 2일때는 두 식 어디나 2로 같으므로

2에 대한 등호는 두 범위 중 어디에 붙어 있어도 괜찮음

즉, 1), 2) 모두 같은 답으로 인정됨.

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