벡터 내적의 의미에 대해서 여쭤봅니다

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제가 학교에서 벡터의 내적에 대해 배웠는데, 그냥 정의만 알려주니까 진짜 숨겨진 의미가 뭔지.. 답답하더라구요. 그래서 여기저기 뒤져보다가 선생님의 지식인 답변을 보게 되었는데..

내적(Inner product)은 여러가지 의미로 해석할 수 있습니다. 우선 해석학적으로 다음과 같이 해석할 수 있습니다.


내적이 정의된 공간에서는 두 원소 사이의 길이과 각도를 정의할 수 있습니다. 매우 훌륭한 기하학이 주어진 공간이 된다는 거죠.

그리고 이 기하학적인 개념으로부터 '수직(orthogonality)'이라는 개념을 생각할 수 있습니다. 만약 내적이 정의된 벡터공간 H가 completeness까지 만족한다면 (즉, H가 Hilbert space라면) H의 orthonormal basis를 잡아서 H의 원소들을 이 basis에 대해 Fourier series로 전개할 수도 있습니다. 그 외에도 H에서 scalar field(보통 R 혹은 C)로 가는 linear functional을 내적을 이용하여 represent할 수도 있는 등의 좋은 성질을 가집니다.

위의 말을 이해해보기 위해, Hilbert space의 아주 자명한 예인 R³ = {(x, y, z) | x, y, z는 실수} 를 생각해봅시다. 이 공간에 주어진 내적을 이용하면

e1 = (1, 0, 0),   e2 = (0, 1, 0),   e3 = (0, 0, 1)

이 R³의 orthonormal basis가 됨을 확인할 수 있습니다. 이때, x∈R³에 대해 x의 Fourier series

x   =  〈x, e1〉e1 +〈x, e2〉e2 +〈x, e3〉e3

는, 만약 x = (a, b, c) 로 둔다면, 다음과 같이 바뀝니다.

x   =   a e1 + b e2 + c e3

이  식은 이미 우리가 아주 잘 아는 식입니다. 또한, 만약 L : R³ → R 이 linear map이라면, 적당한 v = (a, b, c)∈R³ 이 존재하여,

L(x, y, z)   =   〈(a, b, c), (x, y, z)〉   =   ax + by + cz

로 표현됨을 알 수 있습니다. 따라서 L은 v에 의해 represent됩니다. 그러므로 R³의 dual space는 R³과 isomorphic함을 알 수 있습니다. 사실 이것은 Hilbert space H의 dual이 H와 isomorphic하다는 일반적인 사실의 특수한 케이스에 해당합니다.


그 외도, 내적은 주어진 벡터를 다른 벡터 위에 사영(projection)시킬 수 있습니다. 이로부터, 주어진 벡터를 특정한 subspace에 project하는 것도 가능합니다. 예를 들어서, 3차원 공간 내에 있는 벡터를 xy 평면으로 사영시키고자 할 때 내적을 이용할 수 있습니다.

이 성질은 물리적으로도 중요한데, 왜냐하면 실제로 물리적으로 의미있는 방향으로의 벡터 성분을 뽑아낼 때에 내적을 쓸 수 있기 때문입니다.

아, 물론 저 위에서 주저리주저리 설명한 내용도 물리적으로는 꽤 중요합니다. 예를 들어서 L²는 내적이 정의된 함수공간으로, 물리학에서 매우 중요한 공간 중 하나입니다. 물리적인 미분방정식을 풀 때, 특정한 방정식의 경우 주어진 방정식에 대응하는 미분연산자의 eigenfunction들이 L²에서 orthonormal basis를 이룹니다. 예를 들어 Laplace equation이나 Poisson equation 등이 이에 해당합니다.

이 내용이요.. 너무 어려운데, 실례가 안된다면 고등학생 수준으로 설명해 주실 수 있으신가요?