선형대수학 내적공간 질문
익명 작성일 - 1.
(a)
A가 positive definite matrix이므로, 임의의 n차원 벡터 v에 대해 다음이 성립합니다.
A의 고유값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)를 생각해봅시다.
(모든 행렬엔 고유값이 반드시 존재합니다. n차 다항식의 근이므로 허수로라도 값은 반드시 존재합니다)
(고유값에 대응되는 고유벡터도 반드시 존재합니다. 그게 고유값의 정의이기 때문입니다)
여기에 posite definite matrix의 정의를 쓰면
이고
일 수밖에 없으므로 (고유벡터(eigenvector)는 정의상 영벡터일 수 없습니다)
모든 고유값은 양수여야만 합니다.
고유값이 모두 양수이므로 행렬값도 양수이고
행렬값이 0이 아니므로 역행렬이 존재합니다.
(b)
(c)
인 상태에서
라고 두면
(d)
조건이 하나 빠졌습니다.
아니면 부등호에 등호가 빠졌습니다.
저는 i =/= j 로 두고 풀이하겠습니다.
산술기하평균 부등식에 따라
(e)
(f)
1번은 3이 최댓값인데 대각선이 아닌 곳에 있으므로, SPD가 아닙니다. (e)
2번은 5*1이 (-3)의 제곱보다 작으므로, SPD가 아닙니다. (c)
3번은 -1이 음수인데 대각선상에 있으므로, SPD가 아닙니다. (b)
남은 건 4번인데
4번은 (b), (c), (d), (e)가 다 성립합니다.
(a)도
성립합니다.
이걸로는 SPD가 맞다는 증명이 되지 않습니다.
모든 고유값이 양수임을 입증하면 되는데
(모든 고유값이 양수인 행렬은 SPD이고, SPD는 모든 고유값이 양수입니다. 동치관계입니다)
그냥 계산하면 되니까 생략하겠습니다.
3차식 나오는데 (x-2)로 인수분해 됩니다.
2.
벡터 아무거나 하나 잡습니다.
이런 거 줍지 말고
쉬운 거 잡읍시다.
이건 unit vector가 아닙니다.
정규화합니다.
(똑같은 벡터끼리 내적하면 크기의 제곱이 됩니다)
이게 첫번째 basis입니다.
다음으로 벡터 아무거나 하나 잡습니다.
여기에 그람-슈미트 씁니다.
이럴 것 같았습니다.
x에 대해 적분하는데 span을 t에 대한 함수로 줄 리가 없죠
문제가 정말 이게 맞으면,subspace가 그냥 R이라서
orthonormal basis가 1/루트(2) 하나밖에 없어요. (-1/루트(2)도 되긴 합니다)
근데 아닌 것 같죠
으로 두고 다시 시작합니다.
이거 정규화하면
이렇게 나옵니다.
뭘 어떻게 해도 더럽네요.
이렇게 나왔습니다.
적분을 직접 할 순 없어서 계산기 돌려봤는데 크기 1 맞고 서로 수직도 맞습니다.
첫단추를 잘못 끼웠나 다른 식으로도 해봤는데
더러운 건 마찬가지네요.
이것도 계산기 돌렸는데 크기 1 맞고 서로 수직도 맞습니다.
식 더러운 걸 보면 e^t, 1+t를 의도한 게 사실은 맞아서
답이 그냥 1/루트(2) 가 맞는 것 같기도 합니다.
이건 답지를 봐야 알겠네요. 문제가 점수에 비해 쉽거나 상당히 귀찮거나 둘 중 하나라서요.
익명 작성일 - 1.
2.
풀이입니다
* 2번 문제의 (*)는 ∫ₐᵇf(x)dx=0 이고 f≥0 인 연속함수 f:[a,b]→ℝ는 항상 영함수가 된다는 명제를 이용하여 보일 수 있습니다.
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