대수학의 기본정리 증명 틀린부분

이렇게 둔 시점에서 모든 n차 방정식에 대한 증명이 불가능합니다.

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질문자님은 특수한 형태의 n차 방정식에 대해서만, n개의 근을 가짐을 증명하신 겁니다.

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예시로 생각해봅시다.

은 반지름이 1인 복소평면 상의 단위원에 2개의 근

을 갖습니다.

라고 두면, 각 알파값이 단 한 가지로 결정됩니다.

임의의 알파값이 아닙니다.

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직전에 구한 x = 1, x = -1 에 대해 식이 성립해야만 하기 때문입니다.

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다시 말하면,

가 성립해야 됩니다.

이렇게 식이 확정됩니다.

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그럼

이런 결론이 나오는데

제일 처음에 전제로 설정한 단위원의 근이랑 정확히 일치합니다.

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일반화하여 전체 경우에 대해 설명드리겠습니다.

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"반지름이 n루트(a)인 원" 이란 표현에서, a가 음이 아닌 실수임을 상정하셨다고 생각할 수 있습니다.

그에 따라 주어진 식은

이렇게 단순화되고

이렇게 바뀝니다.

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정리하면

이런 단위 원 상의 y에 대해 증명하고

이걸 임의 반지름 원 상의 x로 확장하는 식입니다.

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계산하기 쉽도록 단위원으로 옮겼습니다.

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이 상태에서의 베타값은 특정한 값으로 고정됩니다.

구체적으로 계산할 수 있습니다.

처음 주어진 방정식의 근은 위와 같은 형태입니다.

주어진 n값에 따라 근이 정확한 형태로 확정된 상태인 겁니다.

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간단하게

y_k 형태로 n개의 근을 표현하겠습니다.

다시 말씀드리지만, y_k는 n에 따라 값이 고정되는 상수입니다.

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그에 따라

의 베타값도 정확히 계산이 됩니다.

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n개의 근, y_k에 대해

이게 전부 성립한다는 말이므로

행렬로 바꾸면

이런 의미이니

양 변에 역행렬을 곱해서

이렇게 베타값이 특정값으로 확정됩니다.

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Q. 역행렬이 존재한다는 보장이 있나요?

저렇게 생긴 행렬의 행렬식은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

모든 y_k가 서로 다르므로 행렬식은 0이 아닌 어떤 값이 나옵니다.

증명은 아래 링크들을 참고해주세요.

https://www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/find-determinant-following-matrix-x1-1-1-x-17-1-1-connnn-x2-x-2-v-1-1-x3-xia-x-3-xa-1-xn-2-q89756846

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https://www.bartleby.com/questions-and-answers/prove-that-the-determinant-of-the-matrix-1-1-1-x2-a1-n1-x3-h3-hz-nl-2-1-hn-xn-p-ii-xx-is-deta-isiles/2a27a7e2-fd89-48a2-8726-fcea0493ce95

Answered: Prove that the determinant of the… | bartleby

Math Algebra Prove that the determinant of the matrix 1 1 -1 X2 A=1 n-1 X3 Х3 хз n-l 2 1 Хn Xn п II (x-x) is det(A) Isi Prove that the determinant of the matrix 1 1 -1 X2 A=1 n-1 X3 Х3 хз n-l 2 1 Хn Xn п II (x-x) is det(A) Isi Question

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행렬식이 0이 아니므로 A는 가역행렬입니다.

역행렬이 존재하므로 위와 같은 방식으로 베타값을 구체적으로 계산할 수 있습니다.

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따라서 질문자님은

n에 따라 값이 단 한 가지로 결정되는 베타를 계수로 갖는

단 한 가지의 n차방정식에 대해서만 n개의 근을 가진다고 증명한 것입니다.

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원래의 형태로 고치면

단 한 가지로 결정되는 알파를 계수로 갖는

단 한 가지의 n차방정식에 대해서만 n개의 근을 갖는다고 증명하신 셈입니다.

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계수가 단 하나라도 바뀌면 적용이 안 됩니다.

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따라서, 질문자님의 증명은

일반적인 n차 방정식이 n개의 근을 갖는다는 증명이 될 수 없습니다.