푸리에 급수 문제 풀이 부탁드려요!
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푸리에 급수입니다
푸리에 급수 문제 풀이 부탁드려요!
익명 작성일 -
먼저, 파동방정식의 일반해는 다음과 같습니다.
u(x, t) = Acos(kx - ωt) + Bsin(kx - ωt)
여기서 A와 B는 상수이고, k와 ω는 각각 파동의 주파수와 파수를 나타냅니다.
이제 x = 0에서의 값을 구해보겠습니다.
u(0, t) = Acos(-ωt) + Bsin(-ωt) = Acos(ωt) + Bsin(ωt)
따라서 u(0, t)는 주기 T = 2π/ω인 주기 함수입니다.
이제 푸리에 급수를 유도해 보겠습니다. 먼저, u(0, t)를 다음과 같이 정의합니다.
f(t) = u(0, t)
그리고 푸리에 급수 공식을 적용하면 다음과 같습니다.
f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_ne^{jn\omega t}
여기서 c_n은 푸리에 계수라고 하며, 다음과 같이 구할 수 있습니다.
c_n = \frac{1}{T}\int_0^T f(t)e^{-jn\omega t}dt
위 식에서 T는 주기 함수 f(t)의 주기입니다.
이제 위 식에 u(0, t)를 대입하면 다음과 같습니다.
u(0, t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_ne^{jn\omega t}
이는 파동방정식의 해 u(x, t)를 푸리에 급수로 나타낸 것입니다.
즉, 파동방정식의 해는 삼각함수들의 합으로 나타낼 수 있으며, 이를 통해 진동하는 현상을 분석할 수 있습니다.
먼저, 파동방정식의 일반해는 다음과 같습니다.
u(x, t) = Acos(kx - ωt) + Bsin(kx - ωt)
여기서 A와 B는 상수이고, k와 ω는 각각 파동의 주파수와 파수를 나타냅니다.
이제 x = 0에서의 값을 구해보겠습니다.
u(0, t) = Acos(-ωt) + Bsin(-ωt) = Acos(ωt) + Bsin(ωt)
따라서 u(0, t)는 주기 T = 2π/ω인 주기 함수입니다.
이제 푸리에 급수를 유도해 보겠습니다. 먼저, u(0, t)를 다음과 같이 정의합니다.
f(t) = u(0, t)
그리고 푸리에 급수 공식을 적용하면 다음과 같습니다.
f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_ne^{jn\omega t}
여기서 c_n은 푸리에 계수라고 하며, 다음과 같이 구할 수 있습니다.
c_n = \frac{1}{T}\int_0^T f(t)e^{-jn\omega t}dt
위 식에서 T는 주기 함수 f(t)의 주기입니다.
이제 위 식에 u(0, t)를 대입하면 다음과 같습니다.
u(0, t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_ne^{jn\omega t}
이는 파동방정식의 해 u(x, t)를 푸리에 급수로 나타낸 것입니다.
즉, 파동방정식의 해는 삼각함수들의 합으로 나타낼 수 있으며, 이를 통해 진동하는 현상을 분석할 수 있습니다.
푸리에 급수 문제 풀이 부탁드려요!
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