확률, 기대값 문제

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확률, 기대값 문제

작성일 2023.10.10댓글 1건
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1000원짜리 메로나를 먹었습니다.

메로나를 또 주는 이벤트에 당첨이 됐습니다.

1000원짜리 메로나 6개 / 2000원짜리 메로나 3개 / 3000원짜리 메로나 2개
이 셋 중에 선택이 가능합니다.

각각의 메로나 모두 동일한 확률로 메로나를 또 주는 이벤트에 당첨이 가능하지만

이벤트에 처음 당첨되어 선택했던 메로나를 이제 바꿀 수는 없습니다.
당첨 후 선택 후 계속되는 당첨에서는
1000원짜리는 계속 1000원짜리, 3000원짜리는 3000원짜리 메로나만 줍니다.

메로나 회사에서는 소비자가 어떤 메로나를 받든 항상 동일한 기대값을 제공하기를 원한다면

첫 당첨에서 3000원짜리 메로나를 받았을 때
그 3000원 짜리 메로나가 다시 당첨 메로나라면 이 메로나 몇개를 받아야 할까요?

만약 1000원짜리 메로나를 선택한 뒤 그 이후 당첨이 됐다면 1000원짜리 메로나 6개를 계속 주는 방식이 베이스입니다. -> 처음 당첨때 3000원짜리 메로나 2개를 선택했다면 이 베이스와 동일한 기댓값으로 맞출 수 있도록 설정해주세요. 설명도 부탁드립니다.


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profile_image 익명 작성일 -

주어진 조건에 따라 기대값을 계산하는 방법은 다음과 같습니다.

첫 번째 당첨에서 3000원짜리 메로나를 받았을 때, 그 3000원짜리 메로나가 다시 당첨 메로나일 확률은 어떤 경우에도 동일하므로, 이 확률을 p라고 가정합니다.

만약 처음 당첨 때 3000원짜리 메로나를 선택한 경우, 기대값은 다음과 같이 계산할 수 있습니다:

기대값 = (p * (2개의 3000원짜리 메로나) + (1 - p) * (6개의 1000원짜리 메로나)) / 8

​

여기서 첫 번째 항은 선택한 경우에만 해당되는 항이며,

두 번째 항은 선택하지 않은 경우에 해당되는 항입니다.

즉, 첫 번째 당첨에서 3000원짜리를 선택했을 때와 그렇지 않았을 때의 기대값 평균을 구하는 것입니다.

이 값을 원하는 값으로 설정하기 위해서는 p 값을 조정해야 합니다.

​

예를 들어, 만약 원하는 기대값이 베이스인 6개의 1000원짜리 메로나와 동일하다면, 위 식에서 구한 기대값과 베이스인 6/8을 비교하여 p 값을 조정합니다.

​

예를 들어, 위 식에서 구한 기대값이 x라고 할 때 x = 6/8 인 경우가 원하는 값이라면, (p * (2개의 3000원짜리 메로나) + (1 - p) * (6개의 1000원짜리 메로나)) / 8 = x 위 식을 풀어서 p 값을 구하면 됩니다.

​

이렇게 구한 p 값으로 처음 당첨 시 받아야 할 개수도 계산할 수 있습니다.

위 방법으로 원하는 기대값과 일치하도록 설정할 수 있으며, 이론적으로는 가능합니다.

​

하지만 현실적인 측면에서는 소비자들에게 공정성과 예측 가능성을 제공하기 위해 정확히 동일한 확률 및 기댓값으로 설정하기 어렵거나 복잡할 수 있으므로 상황에 따라 융통성 있게 접근해야 할 것입니다.

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