역삼각함수 질문 있습니다

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역삼각함수 질문 있습니다

작성일 2023.04.19댓글 1건
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integral(1/(x^2+2x+5)^2) dx를
{x+1=2tan 세타, -pi/2 < 세타 < pi/2} 로 치환해서 푸는 것과
{x+1=2tan 세타, pi/2 < 세타 < 3pi/2} 로 치환해서 푸는 것의 결과가 어떻게 다르죠?

단순히 아래의 조건에서는 arctan를 쓰면 안되고 tan^-1로 표현해야하는 건가요?

역삼각함수 문제에서 구간이 다르게 주어졌을 때 식이 어떻게 되는지 알고 싶습니다



profile_image 익명 작성일 -

먼저 첫 번째 치환인 {x+1=2tan 세타, -pi/2 < 세타 < pi/2}를 적용하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다:

​

dx = 2/(1+tan^2세타) d세타

x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4 = 4tan^2세타 + 4 = 4(tan^2세타 + 1) = 4sec^2세타

(x^2 + 2x + 5)^2 = 16sec^4세타

따라서, 다음과 같이 원래 적분식을 새로운 변수 세타에 대한 적분식으로 변환할 수 있습니다:

​

integral(1/(x^2+2x+5)^2) dx

= integral(1/16sec^4세타 * 2/(1+tan^2세타) d세타)

= 1/8 integral(cos^2세타 d세타)

​

적분 결과로 나오는 상수항을 제외하면, 위의 결과는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

​

1/8(sin세타cos세타 + 세타/2)

​

다음으로 두 번째 치환인 {x+1=2tan 세타, pi/2 < 세타 < 3pi/2}를 적용하면, 치환식에 따라 새로운 변수 u = 1/(x^2+2x+5)을 사용할 수 있습니다. 이 경우, 적분 구간이 바뀌어 -pi/2에서 pi/2로 바뀌게 됩니다. 그러나 구간이 바뀐 것을 제외하고는 위의 결과와 동일하게 적분을 계산할 수 있습니다.

​

마지막으로, arctan과 tan^-1은 동일한 의미를 가지는 함수이므로, 둘 중 어떤 것을 사용해도 상관없습니다. 그러나 일반적으로는 arctan 함수를 사용하는 것이 더 흔하며, 수학적인 표기법에서도 일반적으로 arctan 함수가 더 많이 사용됩니다.

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