Fraleigh Algebra 예제

저희 학교에서 배운 선대랑은 많이 다르네요..

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그래서 left identity와 right inverse의 정의를 찾아보았습니다.

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Let (S, ∗) be a set S equipped with a binary operation ∗. Then an element e of S is called a left identity if e ∗ a = a for all a in S.

[출처] Identity element, Wikipedia

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그러면 left identity인 e는 모든 실수 b에 대해

를 만족해야 하므로 |e| = 1, 즉

입니다. left identity는 확실하게 존재하네요.

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단, right identity는 존재하지 않습니다. |a|e = a를 만족하는 e의 값은 a의 부호에 따라 달라지기 때문입니다.

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이제 right inverse의 정의를 보겠습니다.

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Let S be a set closed under a binary operation ∗(i.e., a magma). If e is an identity element of (S, ∗) (i.e., S is a unital magma) and a ∗ b = e, then a is called a left inverse of b and b is called a right inverse of a.

[출처] Inverse element, Wikipedia

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다만 저 e가 two-sided identity인지 one-sided identity도 허용하는지 표시되지 않은 건 아쉽네요. (다만 pseudoinverse의 정의를 볼 때 left identity에는 right inverse만 대응하고, right identity에는 left inverse만 다루는 게 맞을 거 같습니다.)

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그러면 임의의 실수 a에 대해

를 만족하는 실수 b가 존재한다는 것을 보이면 되겠네요.

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실수 전체의 집합 R은 체입니다. 체의 정의를 이루는 요소 중 하나는 0이 아닌 원소 x에 대해 x의 곱셈 역원 x'이 존재하여 x · x' = x' · x = 1이라는 것입니다.

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R*에서 0이 빠졌으니까 b는 항상 곱셈 역원이 존재할 것이고, 곱셈 역원 b'을 양변에 곱하면

따라서 b의 *에 대한 역원은 ±b'으로, 두 개나 존재합니다.

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