arc length를 매개변수로 하는 곡선의 표현 질문입니다.
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공간에서의 곡선(C)을 매개변수 t를 이용해서 r(t)로 표현한 뒤, 그것을 t에 대해서 미분을 하면 곡선C의 접선벡터가 되는 것을 알고 있습니다.
그리고 호의길이(s)를 접선벡터의 크기를 적분해서 얻는 것도 알고 있습니다.
r(t)를 r에대해 미분한 접선벡터는 unit벡터가 아닌 것도 알고 있습니다.
여기서부터는 확인이 필요할 것 같습니다.
s는 t에 대한 함수이고, 반대로 생각해보면 t도 s에 대한 함수가 됩니다.
즉 s를 s(t), t를 t(s)라고 쓸 수 있습니다.
그럼 위의 r(t)를 r(t(s))라고 쓸 수 있고, 여기서 r을 s에대해 미분을 하면
chain rule을 따라
가 되고
는 
의 역수, 즉 접선벡터의 크기가 되고
따라서 r(t(s))를 s에 대해 미분을 하면 곡선 C의 unit tangent vector가 됩니다.
*
인데
니까
그러니까 
가 됩니다.
그런데 첨부한 제 사진을 보면 u(s)=r'(s)라고 t(s)대신에 그냥 s를 쓰고 있습니다.
제 생각대로라면 s는 호의 길이이고, t는 곡선을 표현하는데 쓰인 매개변수이니 둘은 관계를 가지는 서로 독립적이지 않은 변수이고, 그러니까 t와 s는 단지 문자만 바꿔서는 안된다고 생각하는데
이게 별로 혼동될 일이 없으니 t(s)를 그냥 s라고 쓴건지 뭔지 이해하기가 힘듭니다..
도움 부탁드립니다..
r(t)로 표현한 뒤, 그것을 t에 대해서 미분을 하면 곡선C의 접선벡터가 되는 것을 알고 있습니다.
그리고 호의길이(s)를 접선벡터의 크기를 적분해서 얻는 것도 알고 있습니다.
r(t)를 r에대해 미분한 접선벡터는 unit벡터가 아닌 것도 알고 있습니다.
여기서부터는 확인이 필요할 것 같습니다.
s는 t에 대한 함수이고, 반대로 생각해보면 t도 s에 대한 함수가 됩니다.
즉 s를 s(t), t를 t(s)라고 쓸 수 있습니다.
그럼 위의 r(t)를 r(t(s))라고 쓸 수 있고, 여기서 r을 s에대해 미분을 하면
chain rule을 따라 가 되고
가 되고 는 의 역수, 즉 접선벡터의 크기가 되고따라서 r(t(s))를 s에 대해 미분을 하면 곡선 C의 unit tangent vector가 됩니다.
*인데니까
인데니까그러니까 가 됩니다.
가 됩니다.그런데 첨부한 제 사진을 보면 u(s)=r'(s)라고 t(s)대신에 그냥 s를 쓰고 있습니다.
제 생각대로라면 s는 호의 길이이고, t는 곡선을 표현하는데 쓰인 매개변수이니 둘은 관계를 가지는 서로 독립적이지 않은 변수이고, 그러니까 t와 s는 단지 문자만 바꿔서는 안된다고 생각하는데
이게 별로 혼동될 일이 없으니 t(s)를 그냥 s라고 쓴건지 뭔지 이해하기가 힘듭니다..
도움 부탁드립니다..
