수의 역사에 대해서<내공20>

초기의 수학(∼B.C. 1000)

1.초기의 수학(∼B.C 1000)
(1)바빌로니아(=메소포타미아)수학-B.C4000
(2)이집트 수학-B.C 3000
2. 그리스 수학-논증 수학의 탄생
(1)유클리드 이전의 그리스 수학(B.C 1000-B.C300)
①탈레스-논증 수학의 기초 확립.
②피타고라스 학파- √2의 발견, 피타고라스의 정리.

정다면체의 발견,

정수론에의 업적. 황금 분할
③3대 작도 불능 문제와 소피스트 제논의 역설
ⅰ)각 3등분 문제 ⅱ)원적 문제 ⅲ)입방배적 문제
④플라톤 학파-플라톤(수학을 방법론적으로 정리)과 유독 소스

(착출법과 유독 소스의 공식)
(2)유클리드와 그 이후의 그리스 수학(B.C 300-A.D 0)
①유클리드와 「기하학 원론」-공리주의 방법을 최초로 도입
②아르키메데스- 원과 구에 관한 연구
③에라토스테네스의 '체'- 자연수 n보다 작은 소수를 모두 찾는

방법의 발견
④아폴로니우스의「원뿔곡선론」- 포물선, 타원, 쌍곡선 등의 용어

최초 사용
*원뿔 곡선에 관한 최초의 엄밀한 정의는

메나이크모스가 함.
⑤그리스 삼각법- 구면 삼각법, 히파르쿠스(창시자?),

메넬라우스, 프톨레마이오스
⑥헤론-헤론의 공식
⑦디오판토스와 「산학」- 부정 방정식

(=디오판토스 방정식)의 연구
3.인도와 아라비아 수학
(1)인도의 수학-0의 발견, 아라비아 숫자의 발견, 바스카라


(2)아라비아 수학-삼각법에 관한 연구. 알 과리즈미
6세기에서 16세기까지의 유럽 수학



(1) 6세기에서 11세기에 이르는 암흑시대 :

수학을 학문이 아닌 실용적인 측면에서 연구
(2) 12세기의 전파 시대 :

그리스 수학과 인도의 사학이 아라비아인들에 의해 전파됨
(3) 13세기와 피보나치 :

①「산반서」-산술과 조등대수

(인도, 아라비아 계산술의 우수성 인식), 수열

②「실용 기하학」-

기하학과 삼각법(유클리드적 엄밀함과 약간의 독창성)

(4) 14세기와 니콜오렘 :

현대 좌표 기하학의 전조(점을 좌표로 표현), 데카르트에 영향.
(5) 15세기와 레기오몬타누스(요한뮐러) :

평면 및 구면 삼각법에 관한 유럽최초의 해설
(6)16세기와 비에트-기호 대수의 창시와 발전 「해석학 서설」

17세기의 수학-근대 수학의 여명기



17세기의 수학-근대 수학의 여명기(미적분학의 발견, 해석 기하학 창시,

로그의 도입)
(1) 네이피어와 로그의 발견 :1/е을 밑으로 하는 로그의 창시

(기하학적 방법)
① 뷔르기 :e를 밑으로 하는 자연 로그의 고안(대수적 방법)
② 브리그즈: 10을 밑으로 하는 상용로그의 고안
(2) 해이엇과 오트레드-대수의 기호차와 체계화
① 해리엇-부등호(>,② 오트레드-곱셈 기호(×), 차기호(∼)고안
＋,－: 위드만(1489),
√; 루돌프(1525),
＝; 레코드,
÷; 란(1659)
미지수 χ,y,z... ; 비에트,
소수점 기호 ; 스테빈(10진법의 체계 완성)
(3) 갈릴레오의 역학과 케플러의 행성의 운동법칙
(4) 파스칼과 사영 기하학의 발견 :

좌표의 미사용,

데자르그의 정리와 파푸스 정리가 기본임.
(5) 해석기하학의 발견 : 데카르트와 페르마가 좌표법을 이용하여

기하학의 문제를 대수적으로 해결하면서 창시.

18C 오일러에 의해 발전됨.
① 데카르트-「방법서설」진리 탐구의 보편적 방법 추구

(수학이 절대적 진리임을 전제)

곡선을 점의 집단이 아니라 점의 운동으로 파악

(점의 자취의 방정식의 문제)


② 페르마-현대 정수론의 실질적인 창시자.

대수적 방정식에 의해 정의된 새로운 곡선을 제안.

페르마의 쌍곡선( ),

포물선( ),나선( )
ⅰ) 페르마의 소정리: p가 소수이고, a와 p가 서로소이면

은 p로 나누어진다.
ⅱ) 페르마의 대정리(=마지막 정리): n>2일 때

을 만족하는

양의 정수 x,y,z,n 은 존재하지 않는다.
(*) 쿠머의 연구와 컴퓨터를 이용하여 현재

n
대해서도 성립함이 알려져 있다.
(6) 호이겐스와 확률론-수학적 기대값의 개념 소개
(7) 미적분학의 발견-뉴우튼과 라이프니츠가 각각 독립적으로 발견

(해석기하학의 도움)
①미분법의 기원-페르마와 데카르트의 곡선 위의 점에서의 점선의

문제에서 유래
②적분법의 기원-카발리에리의 불가분량법

(면적, 체적을 계산하는데 유용한 2가지 원리)
(*)그리스 시대의 제논의 역설, 유독 소스의 착출법(실진법, 짜내기법).

아르키메데스의 평형법등이 현대 수학의 극한법의

기원이며 오늘날의 미적분학에 중요한 기초를

제공했음은 두 말 할 나위가 없다.
③월리스-「무한의 수론」, 데카르트와 카발리에리 방법의 체계화.

적분론 공헌. 무한대 기호(∞) 최초 도입.
④배로-「기하학 강의」곡선의 점선의 작도에 현대적인 미분법과

매우 흡사한 방법 이용 미분론에의 공헌, 미분과 적분의 역산

관계를 최초로 인식.
⑤뉴우튼-「프린카피아」, 일반화된 이항정리. 미분학으로 알려진

유율법의 창시. dx/dt=x 로 표현.

미분방정식(미적분학의 기본정리)에의 연구등 수학의

모든 분야에서 탁월한 업적.
⑥라이프니츠-「일반특성」. 미분과 적분의 현대적 기호 창안.

카발리에리의 불가분량의 합을 나타내는 라틴어

summa 의 s를 길게 늘어 ∫ydx, ∫ydy사용. dy/dt를

사용. 두 함수의 곱의 n계 도함수를 구하는

라이프니츠의 공식. 적분을 합분법이라 부름.

18세기의 수학-미적분학의 발전



18세기의 수학-미적분학의 발전.(삼각법, 해석기하학, 정수론, 방정식론,

확률론, 미분방정식의 발전, 형식주의의 추구)
(1) 베르누이- 극좌표의 최초사용. 베르누이 분포, 정리(확률론,통계학),
방정식 (미분방정식). 다항식(정수론),수, 연수형(미적분학)
*라이프니츠와 함께 적분이란 용어를 최초 사용. 「추측술」
(2) 드무아브르- *확률론, 통계학, 해석적 삼각법에 기여. 드무아브르의 공식
*확률적분와 정규 도수 곡선 을 처음 취급.
(3) 테일러- 테일러 급수. (후에 오일러가 미분법에 적용.

라그랑즈가 잉여량을 첨가하여 만든 급수로 사용)
(4) 매클로린- 매클로린 급수. 뉴튼의 유율법에 관한 최초의 논리적이고

체계적인 해설을 줌.
(5) 오일러- 공식 고안, 함수f(x),e,π,ｉ

삼각형의 세변 a,b,c 삼각형이 내접원의 반지름r,

외접원의 반지름R, 둘레의 반 s, ∑기호 등을 관례화.

방정식론, 수론, 미분방정식, 미적분학등 수학의 모든 분야에서

업적과 집필.

18C의 형식주의 즉, 수렴성. 수학적인 존재성에 관한 문제,

무한한 과정을 포함하는 방식의 문제에 신중 치 못하여 오류도 범함.

음수에 대한 로그의 계산.
(6) 클레로- 미분방정식론, 특이해의 연구.클레로의 미분방정식.
(7) 달랑베르- 편미분방정식론의 개척자. 해석학의 기초에 관한 연구

(극한이론), 달랑베르의 판정법
(8) 람베르트- π가 무리수임을 최초로 엄밀하게 증명.

쌍곡선 함수이론에 대한 최초의 체계화.

함수의 현대적 표기법 고안.

유클리드의 평행선 공준 고찰

(비유클리드 기하학 발견의 선구자)
(9) 라그랑즈-「미분의 원리를 포함하는 해석 함수론」. 해석학의 기초를

튼튼히 하기 위해 미적분학의 엄밀성을 추구한 최초의 수학자.

f', f'' 등을 최초로 사용. 실변수 함수 이론의 개척.

정수론과 방정식론에 기여.

라그랑즈의 정리. 1 (수학의 큰 양심)
(10) 라플라스- 확률론, 미분방정식론에의 지대한 공헌. "수학은 단지

자연현상을 설명하는데 사용하는 하나의 도구이며 결국

확률론은 수로 표현된 상식에 불과하다." (수학의 과정에 무관심)
(11) 르장드르- 정수론, 타원함수론(개척자적 연구), 미분 방정식론.

르장드르 함수, 다항식, 르장드르기호(c｜p). 적분론.
(12) 몽주- 미분기하학의 아버지(3차원 공간에 있는 곡면의 곡률선의 개념

소개) . 화법기하학의 창시
(13) 카르노-19C에 일어날 기하학과 수학 기초에 관한 연구
(14) 도량형의 미터법 제정
(*) 18C에는 변분법, 고차함수, 편미분방정식, 화법기하학,

미분기하학등 새로운 분야가 창조되었으며 여성의

수학분야에로의 등장(암에스, 제르맹)이다.

19세기 초반의 수학



19세기 초반의 수학
-기하학, 대수학의 발전과 해방(비유클리드 기하학의 탄생,

새 대수적 구조의 출현)
-비판주의적 수학의 탄생
-미적분학의 논리적 기초 확립-수열이극한. 급수의 수렴성.

함수의 정의와 연속성의 개념 연구
(1) 가우스-수학의 황제. '수학은 과학의 여왕이고 정수론은 수학의 여왕이다'.

대수학의 기본정리 증명(복소계수론 가지는 n차원

대수 방정식은 적어도 하나의 복소근을 가진다.)
「수론 연구」-현대정수론에의 업적, 정다각형의 작도법 발견.

수학의 엄밀성 주창
「일반곡면론」-공간에서의 곡변에 관한 기하학의 연구

(미분기하학의 기초 확립.)
비유클리드 기하학의 존재성인식과 예견

(칸트의 공간관 떄문에 미발표) 복소수 용어의 최초 사용.

타원함수론에의 기여. 해석학의 엄밀화 작업시도

(2) 푸리에- 응용수학자(열 전단문제에 관한연구) 임의의 함수는 구간

[-π,π]에서 사인과 코사인함수의 합(즉, 삼각급수, 푸리에 급수)으로

분해될 수 있다고 주장 ⇒논리적 엄밀성 결핍.
푸리에 급수:, 칸토르의 무한 집합론탄생의 계기.

⇒조화해석학, 편미분방정식의 경계치 문제의 해결방법에

동기부여.
(3) 코시- 함수론의 아버지. ε-δ논법 창안(극한과 연속성의 개념 확립),

미분방 정식론에 기여. 무한급수의 수렴과 발산에 관한 연구.

무한소에 관한 수학적 정의 시도. 함수의 엄밀한 정의 추구.

평균치 정리증명. 미분과 적분의 역산관계 증명. 정적분을 합의

극한으로 정의 함수가 푸리에 급수로 표현되기 위한 조건 연구.

연속함수의 적분가능성 증명. 행렬이론에의 업적

(행렬식의 특성방정식 도입)

(4) 아벨- 타원함수에 관한 연구. 가환군의 개념 도입.

무한 급수에의 기여(수렴 찬정법. 멱급수에 관한 정리).

미적분학에 기여. 일반적인 5차이상의 대수방정식을 대수적으로

푸는 것이 불가능함을 증명.
(5) 갈로아- 갈로아 이론의 도입으로 방정식론에 근본적인 개혁을 가져온

대수학자.

군(group)이란 용어의 최초 사용. 군 론의 창시자.

아벨의 가환군의 개념을 이용하여 5차이상의 대수방정식이
근의 공식을 가질 수없음을 증명. 갈로아 이론에 의해

임의의 각의 3등분 문제, 입방배적문제가 자와 콤파스만으로

작도되지 않는 이유와 정 n각형이 자와 콤파스로 작도되기 위한

필요충분조건을 설명.
(6) 디리클레- 연속성과 함수의 현대적 정의를 최초로 함.

해석적 정수론의 창시 (가우스의 소수 정리 연구) 한 함수의

푸리에 급수가 수렴하기 위한 조건의 연구.
(7) 비유클리드 기하학- 유클리드의 평행선의 공리를 부정하는 기하학

①사케리-유클리드의 평행선의 공리를 증명하려 했으나 실패

(비유클리드 기하학 탄생의 한 계기)
②로바체프스키, 보요이- 쌍곡선형 비 유클리드 기하학의 창시

(무수히 많은 평행선이 존재)
③리만- 타원형 비 유클리드 기하학의 창시(평행선은 존재하지 않는다).

리이만 적분의 개념 확립. 다양체의 개념 최초 도입.

(8) 새로운 대수적 구조의 출현-기존의 산술대수의 5가지 공준을 만족하지

않는 대수적 구조의 도입

①해밀턴의 사원수 - 실수의 4중 순서수()로서 곱셈의 교환법칙 불성립.

최초의 비가환애수
②그라스만의 다윈수- 실수의 n중 순서수(). 많은 다른 대수가 존재
③캐일리의 행렬대수- 교환법칙의 불성립
④조르당 대수. 리이 대수- 결합법칙의 불성립
⑤모노이드, 군, 환, 정역, 속, 부울환, 부2울대수, 체, 벡터공간 등의 새로운

대수적 구조의 탄생

19세기 후반의 수학



19세기 후반의 수학- 직관주의에의 경고. 수학의 엄밀성 확립.

해석학의 산술화(실수제의연구)
(1) 3대각도 불능문제의 해결- 해석기하학의 도움.
①원적문제- 작도 가능한 구는 대수적인수(완첼)이나 π는 초월수임을

린데만이 증명, 해결
②입방배적문제. 임의의 각의 3등분 문제-갈로아 이론으로 해결
(2) 퐁슬레- 사영기하학의 확립. 쌍대의 원리와 연속의 원리
(3) 플뤼커- 해석기하학의 방법의 발전에 지대한 공헌, 단축표기법.

3차곡선의 완전한 분류
(4) 클라인- 에를랑겐 프로그램. 모든 기하학의 통일을 시도

(공간의 변환군에 의해 불변인 성질 연구)
(*)케일리, 벨트라미, 클라인, 프왕카레-유클리드 기하학안에서

비유클리드 기하학의 모형을 만듦으로써 비유클리드 기하학을

유클리드 공간 속의 특수한 곡면 위에서의 기하학으로 해석.
(5) 해석학의 산술화-극한, 연속성. 미분가능성에 관한 이론이 숨겨진

실수계에 의해 좌우된 다는 사실인식.

따라서 실수계 자체가 엄밀하게 정의되어야 하고

모든 해석학의 기초 개념이 이 수체계로부터

유도되어야 한다고 주창하는 프로그램.

(역사)

달랑베르(극한이론의 필요성제기)→

라그랑즈(해석학의 직관론과 형식론의 제거 시도)→

가우스(무한급수의 수렴성 최초로 고찰)→

코시(연속. 미분가능.정적분을 극한 개념 으로정의)→

바이어슈트라스(도함수를 가리지 않는 연속함수의 발견, 해석학의 산술화 주창)


(6) 바이어 슈크라스-해석학의 산술화라는 프로그램 주창. 무리수의 이론,

평등수렴의 발견. 사칙의 공리를 만족하는 가장

일반적인수가 복소수임을 증명.

도함수를 가리지 않는 연속함수의 최초발견.

멱급수를 이용한 복소수 함수론에의 공헌

(복소평면의 엄밀한 완성)

(7) 데데킨트- 절단(cut)의 개념으로 실수를 정의함.

대수학에서의 이데알 개념창시
(8) 칸토르- 집합론과 무한이론의 창시자. 무리수론 연구.

해석학의 기초에 관심제고.

푸리에 급수의 계수의 일의성에 관한 연구에서 실수란

무엇인가란 문제제기.

실수를 유리수들의 코오시 수열의 극한으로 정의.

(실수의 완비성의 공리)

무한을 수학적 대상화 (무한개수의 도입. 계산법 발견)
(9) 크로네커- 칸토르의 무한이론을 신학으로 간주하여 비난.

방정식론. 대수적수론에 기여
(10) 프왕카레- 대수적 위상수학의 창시자. 미분방정식론,

확률론등 수학의 모든분야에서 업적.

(곡면이나 다면체의 위상적 성질 연구)
(11) 네더(Noether)-여성수학자. 소거이론과 불변량이론에의 연구

(대수학에의 공헌)



20세기와 수학의 추상화-
주제에 관한 논리적 기초와 구조의 검증(공리론 탄생. 집합론의 모순성에 관한 연구.
추상공간의 발견(프레세). 수학의 방법론 연구)

■ 인도 아라비아 숫자와 영(0)의 기원

오늘날 우리가 사용하고 있는 아라비아 숫자(상용 숫자)는 사실은 인도에서 발명된 것이다.
즉 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9의 아홉 개의 숫자와 0이란 기호는 1400∼1500년 전에 인도에서 발명되었다. 어떤 사람들은 이 숫자를 로마 숫자라고 잘못 부르기도 하지만 이것은 이만 저만한 오해가 아니다. 로마 숫자는 따로 지금도 남아 있다.

여러분도 잘 알다시피 9까지의 숫자와 0이란 기호를 써서 어떤 큰 숫자도 아주 간단하게 또 쉽게 만들어 낼 수가 있다. 이 숫자가 유럽에 알려진 이후 셈이나 수의 기록이 아주 편리하게 되었고 그 후 유럽의 수학이 급속히 발달하였다.

그러나 안타깝게도 이 숫자를 발명한 사람의 이름도, 시대도 알려지지 않고 있다. 단지, 오늘날 우리들이 사용하고 있는 숫자는 처음 인도에서 생긴 것만은 확실하다.
1에서 9까지 아홉 개의 숫자와 0을 써서 10이 될 때마다 한자리씩 올려가는 것을 생각해 낸 일은 인류의 역사상 매우 대단한 발명이었다. 요즈음은 이 숫자들을 초등학교에 갓 들어간 어린이가 한 달도 채 못되어 모두 외워 버리기 때문에 별 것도 아닌 양 여기기가 쉽다.

그러나 이 숫자 덕분에 인도 사람들은 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈은 물론 이자 계산이라든가, 제곱근, 세제곱근을 구하는 등 복잡한 셈까지도 거뜬히 할 수 있었던 것이다. 인도 사람들이 이집트나 그리스, 로마 사람들이 수 천 년이라는 긴 세월동안에도 미처 할 수 없었던 고도
의 산수, 대수 계산에 익숙해진 것은 오직 이 숫자의 발명 때문이었다.

1에서 9까지의 숫자만으로 큰 수를 나타내려면 복잡한 방법이 필요하다. 0의 발견이 아무리 간단하고 하찮은 것처럼 보인다 하여도 이것이 문명의 발달에 얼마나 큰 기여를 했는가는 헤아릴 수 없을 정도이다.

인도에서 발명된 숫자는 곧 아라비아로 전해졌으며 그 후 유럽으로 전해졌다. 그래서 아라비아에서 건너온 숫자라는 뜻으로 유럽 사람들은 아라비아 숫자라고 부르고 있지만, 정확하게 말한다면 인도-아라비아 숫자라고 하는 것이 타당할 것이다.
아무튼, 아라비아 숫자와 0은 인도에서 최초로 창조되어 서양으로 전파되어 꽃을 피운 것이다.
인도에서 이만큼 수학이 발달해 있었으므로, 그 후에도 연구를 계속했다면 인류에게 큰 기여를 하였을 것이다. 하지만 그 후 발달을 멈추고 만 것은 매우 안타까운 일이다. 인도 수학이 계속 발달하지 못한 이유로는 승려나 왕족들만 수학을 연구했기 때문이다. 두 번째 이유로는 인도 사람들은 자신들의 생각을 시의 형식으로 남겨 놓기 일쑤 였는데 시는 수학적인 내용을 자세하게 옮길 수 없고, 의미가 애매 모호하게 되기 쉬웠던 때문이다.
그러기에 본인이나, 아니면 상당한 학식을 가진 사람 이외에는 시로 읋은 수학을 이해하는 데 큰 고생을 했다. 이러한 이유 때문에 후세 사람들이 공부하고 싶어도 연구하는 도중에 그만 두게 되어 수학의 발달이 저절로 멈추게 된 것이다. 수학은 증명이나 계산을 분명하게 써서 나타내어야만 제 구실을 할 수 있는 것이다.

 

 

 

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