Gram-Schmidt Process에 관한 질문
v_1, ..., v_n이 벡터공간 V의 기저(basis)라면, Gram-Schmidt process를 통해 얻은 w_1, ... w_n이 서로 수직임을 보일 수 있는 방법이 무엇이 있을까요? 자세한 풀이도 있었으면 좋겠습니다.
익명 작성일 - Gram-Schmidt Process는 주어진 벡터공간의 기저를 이용하여 서로 수직인 벡터들의 집합을 생성하는 알고리즘입니다. 이 알고리즘을 통해 얻은 w_1, .
, w_n 벡터들이 서로 수직임을 보이기 위해서는 다음과 같은 방법을 사용할 수 있습니다.
1. 수학적 귀납법을 사용하여 증명하기:
- 먼저, w_1은 v_1과 동일하므로 서로 수직입니다.
- 다음으로, w_2를 구할 때, w_2 = v_2 - proj(w_1, v_2)로 계산합니다. 여기서 proj(w_1, v_2)는 w_1에 대한 v_2의 사영(projection)입니다.
- proj(w_1, v_2)는 w_1과 v_2의 내적(inner product)을 w_1의 크기로 나눈 후, w_1에 곱하여 계산됩니다. 즉, proj(w_1, v_2) = (v_2 · w_1) / (w_1 · w_1) * w_1입니다.
- 따라서, w_2 = v_2 - (v_2 · w_1) / (w_1 · w_1) * w_1입니다.
- 이제 w_1과 w_2가 서로 수직임을 보이기 위해 내적을 계산합니다. w_1 · w_2 = (v_2 - (v_2 · w_1) / (w_1 · w_1) * w_1) · w_1 = (v_2 · w_1) - (v_2 · w_1) = 0입니다.
- 따라서, w_1과 w_2는 서로 수직입니다.
- 이와 같은 방법으로 w_3, .
, w_n까지 수행하여 모든 벡터들이 서로 수직임을 증명할 수 있습니다.
2. 내적을 이용하여 증명하기:
- Gram-Schmidt Process를 통해 얻은 w_1, .
, w_n 벡터들은 각각 v_1, .
, v_n을 선형결합한 형태로 표현됩니다.
- 즉, w_1 = a_1 * v_1, w_2 = a_2 * v_1 + b_2 * v_2, .
, w_n = a_n * v_1 + b_n * v_2 + .
+ c_n * v_n입니다.
- 이제 w_i와 w_j (i ≠ j)가 서로 수직임을 보이기 위해 내적을 계산합니다. w_i · w_j = (a_i * v_1 + b_i * v_2 + .
+ c_i * v_i) · (a_j * v_1 + b_j * v_2 + .
+ c_j * v_j)
- 내적의 선형성에 의해 w_i · w_j = a_i * a_j * (v_1 · v_1) + b_i * b_j * (v_2 · v_2) + .
+ c_i * c_j * (v_i · v_i)
- 여기서, v_1, .
, v_n은 벡터공간 V의 기저이므로 서로 수직입니다. 따라서, (v_i · v_j) = 0 (i ≠ j)입니다.
- 따라서, w_i · w_j = a_i * a_j * (v_1 · v_1) + b_i * b_j * (v_2 · v_2) + .
+ c_i * c_j * (v_i · v_i) = 0입니다.
- 따라서, w_i와 w_j는 서로 수직입니다.
위의 방법 중 하나를 사용하여 Gram-Schmidt Process를 통해 얻은 w_1, .
, w_n 벡터들이 서로 수직임을 보일 수 있습니다.
익명 작성일 - Gram-Schmidt Process는 주어진 벡터들의 집합을 서로 수직인 벡터들의 집합으로 변환하는 알고리즘입니다. 이 알고리즘을 통해 얻은 w_1, .
, w_n 벡터들이 서로 수직임을 보이기 위해서는 다음과 같은 방법을 사용할 수 있습니다.
1. 수학적 귀납법을 사용하여 증명하기:
- w_1은 v_1과 동일하므로 서로 수직입니다.
- 가정으로서, w_1, .
, w_k-1이 서로 수직이라고 가정합니다.
- w_k는 v_k에서 이전의 벡터들에 대한 직교성을 보장하기 위해 다음과 같이 계산됩니다:
w_k = v_k - proj(w_1, v_k) - .
- proj(w_k-1, v_k)
- proj(w_i, v_k)는 w_i와 v_k 사이의 직교성을 보장하기 위해 w_i에 대한 v_k의 사영(projection)입니다.
- w_k는 w_1, .
, w_k-1과 수직이므로, w_1, .
, w_k도 서로 수직입니다.
- 따라서, 수학적 귀납법에 의해 w_1, .
, w_n은 서로 수직입니다.
2. 내적을 사용하여 증명하기:
- w_1은 v_1과 동일하므로 서로 수직입니다.
- 가정으로서, w_1, .
, w_k-1이 서로 수직이라고 가정합니다.
- w_k는 v_k에서 이전의 벡터들에 대한 직교성을 보장하기 위해 다음과 같이 계산됩니다:
w_k = v_k - proj(w_1, v_k) - .
- proj(w_k-1, v_k)
- 내적의 성질을 이용하여, w_k와 w_i (1 ≤ i ≤ k-1) 사이의 내적이 0임을 보일 수 있습니다.
- 내적의 정의에 의해, w_k와 w_i (1 ≤ i ≤ k-1) 사이의 내적은 다음과 같이 계산됩니다:
<w_k, w_i> = <v_k - proj(w_1, v_k) - .
- proj(w_k-1, v_k), w_i>
= <v_k, w_i> - <proj(w_1, v_k), w_i> - .
- <proj(w_k-1, v_k), w_i>
= <v_k, w_i> - 0 - .
- 0
= <v_k, w_i>
- w_k는 w_1, .
, w_k-1과 수직이므로, <v_k, w_i> = 0 (1 ≤ i ≤ k-1)입니다.
- 따라서, w_k와 w_i (1 ≤ i ≤ k-1) 사이의 내적은 0이므로, w_k와 w_i (1 ≤ i ≤ k-1)는 서로 수직입니다.
- 수학적 귀납법에 의해 w_1, .
, w_n은 서로 수직입니다.
이러한 방법을 사용하여 Gram-Schmidt Process를 통해 얻은 w_1, .
, w_n 벡터들이 서로 수직임을 증명할 수 있습니다.
v_1, ..., v_n이 벡터공간 V의 기저(basis)라면, Gram-Schmidt process를 통해 얻은 w_1, ... w_n이 서로 수직임을 보일 수 있는 방법이 무엇이 있을까요? 자세한 풀이도...
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