합성함수의 성질 f∘g≠g∘f (교환법칙이 성립하지 않는다)
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1) 사실 판단
개념원리 수학II 114쪽
'합성함수의 성질' (1)번은 아래와 같이 적혀있습니다.
f∘g≠g∘f
즉, '합성함수는 교환법칙이 성립하지 않는다'는 것입니다.
2) 문제 제기
그러나 f나 g, 또는 f와 g가 항등함수일 경우에는 교환법칙이 성립합니다.
f=g인 경우에도 교환법칙은 성립합니다.
3) 의견 표명
제 의견은 이렇습니다.
"f∘g≠g∘f 라는 합성함수의 성질에는 f=g와 항등함수라는 반례가 존재하므로
'단, f≠g 이며 둘은 항등함수가 아니다'라는 조건을 붙여야한다."
이를 비유하자면
'x의 제곱≥0' 에서 허수 i라는 반례가 존재하므로 '단, x는 실수'라는 조건을 붙이는 것과 같습니다.
(이 내용이 위와 비슷한 경우라고 필자는 주장합니다.)
이에 선생님께서는 오히려 '반례'를 언급하시며 위 조건을 붙일 필요가 없다고 말씀하셨습니다.
그럼에도 저는 여기서 반례가 왜 언급되는 것인지 이해가 가지 않습니다.
4) 추가 내용
개념원리에 나온 합성함수의 성질 아래쪽을 보면 친절하게 [설명]까지 적혀있습니다.
설명에선 f(x) = 2x+3, g(x) = 4x-2 로 놓은 후
f∘g와 g∘f의 값이 다름으로써 f∘g≠g∘f를 증명하고 있습니다.
(물론, 이해를 돕기 위한 설명인지 아니면 위 내용을 증명한 것인지 확실하진 않습니다.)
그렇다면 f(x) = x, g(x) = 4x-2로 놓은 후
f∘g와 g∘f의 값이 같으면 합성함수의 성질은 f∘g=g∘f 입니까?
5) 질문
(1) '단, f≠g 이며 둘은 항등함수가 아니다'라는 조건을 붙이지 않아도 됩니까? (Yes/No)
(2) (1)의 이유는 무엇입니까?
(3) [설명]의 방법으로 f∘g≠g∘f를 증명할 수 있습니까?
내공 100 겁니다.
1) 사실 판단
개념원리 수학II 114쪽
'합성함수의 성질' (1)번은 아래와 같이 적혀있습니다.
f∘g≠g∘f
즉, '합성함수는 교환법칙이 성립하지 않는다'는 것입니다.
2) 문제 제기
그러나 f나 g, 또는 f와 g가 항등함수일 경우에는 교환법칙이 성립합니다.
f=g인 경우에도 교환법칙은 성립합니다.
3) 의견 표명
제 의견은 이렇습니다.
"f∘g≠g∘f 라는 합성함수의 성질에는 f=g와 항등함수라는 반례가 존재하므로
'단, f≠g 이며 둘은 항등함수가 아니다'라는 조건을 붙여야한다."
이를 비유하자면
'x의 제곱≥0' 에서 허수 i라는 반례가 존재하므로 '단, x는 실수'라는 조건을 붙이는 것과 같습니다.
(이 내용이 위와 비슷한 경우라고 필자는 주장합니다.)
이에 선생님께서는 오히려 '반례'를 언급하시며 위 조건을 붙일 필요가 없다고 말씀하셨습니다.
그럼에도 저는 여기서 반례가 왜 언급되는 것인지 이해가 가지 않습니다.
4) 추가 내용
개념원리에 나온 합성함수의 성질 아래쪽을 보면 친절하게 [설명]까지 적혀있습니다.
설명에선 f(x) = 2x+3, g(x) = 4x-2 로 놓은 후
f∘g와 g∘f의 값이 다름으로써 f∘g≠g∘f를 증명하고 있습니다.
(물론, 이해를 돕기 위한 설명인지 아니면 위 내용을 증명한 것인지 확실하진 않습니다.)
그렇다면 f(x) = x, g(x) = 4x-2로 놓은 후
f∘g와 g∘f의 값이 같으면 합성함수의 성질은 f∘g=g∘f 입니까?
5) 질문
(1) '단, f≠g 이며 둘은 항등함수가 아니다'라는 조건을 붙이지 않아도 됩니까? (Yes/No)
(2) (1)의 이유는 무엇입니까?
(3) [설명]의 방법으로 f∘g≠g∘f를 증명할 수 있습니까?
내공 100 겁니다.
#합성함수의 성질 #합성함수의 연속 성질
