단조증가수열 극한
익명 작성일 - 질문자 분의 풀이 방식이 어떻게인지 모르겠습니다.
an/bn을 분자 분모 bn으로 나눠도 (an/bn) / 1 = an / bn이니 변화가 없는 것이고요.
푸신 식을 보는 것이 조언을 드리는데 좋을 듯 합니다.
좌우 식에 m,n을 변변 곱한 후 변변 더한 결과
좌우변의 모양이 항수만 다르고 그 비가 같다고 한다면
(예를 들어 an + 2bn = 2(a(n-1) + 2b(n-1))과 같이 정리해보고 싶은 것임)
m : n = 2m+n : 5m+2n
5m²+2mn = 2mn+n²
5m² = n²
m:n = 1:±√5
an = 2a(n-1) + 5b(n-1)
√5bn = √5a(n-1) + 2√5b(n-1)
두 식을 변변 더하고 정리하면 an + √5bn = (2+√5){a(n-1) + √5b(n-1)}
두 식을 변변 빼고 정리하면 an - √5bn = (2-√5){a(n-1) - √5b(n-1)}
an + √5bn = cn
an - √5bn = dn이라고 하면
c1 = 1+√5, cn = (2+√5)c(n-1)이므로 cn = (1+√5)*(2+√5)^(n-1)
d1 = 1-√5, dn = (2-√5)d(n-1)이므로 dn = (1-√5)*(2-√5)^(n-1)
cn+dn = 2an이므로 an = (cn+dn)/2
cn-dn = 2√5bn이므로 bn = (cn-dn)/2√5
bn / an
= {(cn - dn)/2√5} / {(cn+dn)/2}
= (cn - dn) / √5(cn+dn)
= {(1+√5)*(2+√5)^(n-1) - (1-√5)*(2-√5)^(n-1) } / √5{(1+√5)*(2+√5)^(n-1) + (1-√5)*(2-√5)^(n-1)}
2+√5의 절대값이 2-√5의 절대값보다 크므로
(2+√5)^(n-1)로 분자 분모 나누면
(2-√5)/(2+√5) = (9-4√5)/(4-5) = 4√5-9 이고 이는 -1＜4√5-9＜0 이므로 이것의 무한대 승은 0으로 갑니다.
= {(1+√5) - (1-√5)*(4√5-9)^(n-1) } / √5{(1+√5) + (1-√5)*(4√5 - 9)^(n-1)}
가 되고 여기에 극한을 적용하면 (4√5-9)^(n-1)은 모두 0으로 가므로
lim(bn/an)
= {(1+√5) - (1-√5)*0 } / √5{(1+√5) + (1-√5)*0}
= {(1+√5)} / √5{(1+√5)}
= 1/√5
= √5 / 5 가 됩니다.
이 문제를 제가 보고 an bn 둘다 단조증가수열이 라고 생각했습니다 여기서... 여기에 극한을 적용하면 (4√5-9)^(n-1)은 모두 0으로 가므로 lim(bn/an) = {(1...
미분적분학 극한에 대해 공부중입니다. 문제 한가지만 답해주시면 다른것들도... 이니까 단조 증가수열 즉, 단조수열입니다. 1 =< 1 / n^2 < 0 이니까 0 < { 2 - 1 / n^2 } =< 1...
... 수열이 단조 증가이고 상계를 가짐을 보이는 겁니다. 상계가 존재하는 단조 증가 수열은 수렴한다는 정리가 있습니다. 이는 실수계의 완비성 공리와 맞닿아 있습니다.
... 해설에서 는 위로유계인 단조증가수열이므로 극한이 존재한다고 바로 나와있길래 궁금해서 여쭤봅니다 글쎄요. 바로는 아닐 것 같은데요. 이므로 단조증가수열이고, 이므로...
... 직접비교판정법을 써야하나요 극한비교판정법을 써야하나요?ㅜㅜ y = tan(x) 그래프는... 항이 양수임에 따라 단조증가수열이므로 단조수렴정리에 따라 반드시 수렴합니다.
... a(n) 대신 -a(n)을 생각함으로써, 우리는 a(n)이 단조증가수열이라고... 그런데 이므로, 여기에 n→∞ 의 극한을 취하면 이고, 이로부터 원하는 사실이 바로...
... 수열이 유계임을 보이고, 수열이 단조증가 또는 단조감소함을 보입니다... 위 두가지를 보이면 수열이 수렴한다고 할수 있습니다... 그러면 특성방정식을 이용해서 극한...
... 따라서 limAn=lim√(6+An-1) ⇒ a = √(6+a) ⇒ a^2 =6+a ⇒ a^2 - a -6 =(a-3)(a+2)=0 ∴ limAn=a=3 (∵ An≥0 이고, 단조증가수열이므로, 극한값이 음수일 수 없음)
... 수열은 단조증가하고, (1)과 (2)에 의해서 상한이 있습니다. ==> 수렴합니다. 수열이 수렴하면 이 성립하므로 수렴하는 값을 알파 라고 하고, 그 극한값은 문제의 주어진...
... 답변좀 부탁드립니다ㅜ (1) {a_n: n ∈ N} 은 위로 유계. (2) {a_n} 은 단조 증가. (1 ＜ √2 = a_1 < a_2 < . . . ) monotone convergence theorem 에 의해 {a_n} 은 수렴합니다.
