수학 확통 3문제 (추가 내공 430)
익명 작성일 - 안녕하세요 목동수학학원 길벗아카데미 수학과 서통영T 입니다.
주어진 질문을 고등학교 3학년 2등급 이상 학생을 대상으로 설명하겠습니다.
모든 문제를 2가지 방법으로 풀었습니다.
두 가지 방법의 차이점과 장단점을 확인해서 앞으로 잘 활용하시기 바랍니다.
중복조합 공식이 어떻게 사용되었는지에 대해서는 문제 풀이 아래쪽에 따로 첨부했습니다.
2번 문제의 경우 단조감소함수의 개수를 구하는 문제입니다.
참고: 단조감소함수는 x의 값이 커질수록 함숫값이 작아지거나 같아지는(커지지 않는) 함수입니다.
풀이 1은 치역의 (원소의) 개수를 기준으로 경우를 나눠서 풀었습니다.
일관성을 보이기 위해서 (치역을 정하는 방법의 수) × (함수를 결정하는 방법의 수) 로 풀었습니다.
각 경우마다 숫자가 어떻게 변하는지 확인해보시면 도움이 되리라 생각됩니다.
특히 치역이 4개인 경우는 정의역의 개수와 동일하기 때문에 일대일대응이 되며 그냥 감소함수입니다.
풀이 2는 단조감소함수의 개수를 바로 구하는 방법을 설명하고 있습니다.
이 방법을 이해하시면 단조감소함수의 개수를 간단하게 한 번에 구할 수 있습니다.
2번 문제의 출제율은 3.2/5.0 이고 난이도는 2.8/5.0 입니다.
6번 문제는 2번 문제와 유사합니다.
다만 조건 나)에 의해서 그냥 감소함수가 되는 경우는 제외됩니다.
이 문제의 풀이1은 2번 문제의 풀이2를 이용해서 간단하게 풀었습니다.
특히 감소함수가 될때는 일대일대응이 되어야 하는데 이것은 치역의 개수를 4개로 맞춰주기만 해도 자동결정됩니다.
풀이 2의 경우는 반대로 2번 문제의 풀이 1을 이용해서 풀었습니다.
6번 문제의 출제율은 2.9/5.0 이고 난이도는 3.2/5.0 입니다.
7번 문제에는 '회전하여 같은 모양은 같은것으로 본다'는 조건이 있다고 가정하고 풀었습니다.
주어진 도형이 정사각형 형태이므로 동일한 형태가 90도 회전할 때마다 반복되어 같은 모양이 4번씩 중복됩니다.
풀이 1의 경우는 가능한 경우의 수를 모두 구한 후 회전으로 인한 중복을 처리하기 위해 4로 나눠서 구했습니다.
먼저 빨,파가 인접하게 색칠되는 모든 경우를 구한 후 : 16가지
나머지 6개의 색을 6칸에 칠하는 경우의 수를 곱했습니다. : × 6!
그리고 마지막에 중복처리를 했습니다. : ÷ 4
(만약 회전에 대한 조건이 없는 문제라면 마지막 ÷ 4 를 제외하면 됩니다.)
풀이 2의 경우는 빨,파를 먼저 칠하는데 회전해서 같은 경우가 생기는 경우는 1가지만 남겼습니다.
그 후에 남은 6색을 칠했습니다.
단순히 말씀드리면 16 ÷ 4를 먼저 하고 구한겁니다.
7번 문제의 출제율은 3.4/5.0 이고 난이도는 2.6/5.0 입니다.
(출제율은 이 문제의 유형이 내신이나 수능에서 나오는 비율을 나타내고 수치가 높을 수록 자주 출제되는 유형입니다. 난이도는 처음에 설정한 2등급 정도의 학생들에게 느껴지는 체감난이도를 나타냅니다. 이 또한 수치가 높을수록 어려운 문제입니다.)
아래 사진은 중복조합의 기초와 간단한 응용에 대한 설명입니다.
위의 풀이에서 중복조합이 어떻게 사용되었는지에 대한 추가 설명으로 보시면 됩니다.
함수의 개수를 구할 때 응용하기 좋은 방법입니다.
풀이에 다른 질문이 있으면 추가질문 해주세요.
도움이 되셨길 바랍니다.
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