삼각함수의 덧셈정리 문제 질문

청소,수리,가전,주방 생활관련 지식in - 지식부장 - 입니다.

정성 스럽게 작성하여 도움될수 있는 수기 답변 드리겠습니다.^^

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질문답변:

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이 문제는 삼각함수의 덧셈정리를 이용해서 풀 수 있습니다. sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ 이 식을 이용하여 sin20°sin40°sin80°를 풀어보면, sin20°sin40°sin80°=sin20°cos40°sin80°-sin20°sin40°cos80° 두 번째 항은 sin(20°+40°)=sin60°=(루트3)/2 이므로, sin20°sin40°sin80°=(루트3)/2cos40°sin80° 이제 이를 간단하게 바꿔줄 필요가 있습니다.

여기서 다음 공식을 이용하면 됩니다. sin2θ=2sinθcosθ 따라서, sin80°=sin(2×40°)=2sin40°cos40° 따라서, sin20°sin40°sin80°=(루트3)/2cos40°sin80°=(루트3)/2×(sin80°/2)= (루트3)/2×(2sin40°cos40°/2)=(루트3)/2×(sin2×40°/2)=(루트3)/2×(sin80°/4) 따라서, 최종적으로 sin20°sin40°sin80°=(루트3)/8이 됩니다.

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좋은하루되세요!

주어진 식을 풀어보도록 하겠습니다.

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우선, 식을 다음과 같이 나타내겠습니다:

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sin(20°) * sin(40°) * sin(80°)

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이제 삼각함수의 곱셈공식인 "sin(A) * sin(B) = (1/2) * [cos(A-B) - cos(A+B)]"를 사용하면, 위의 식을 다음과 같이 변형할 수 있습니다:

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(1/2) * [cos(20°-40°) - cos(20°+40°)] * sin(80°)

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cos(20°-40°)는 cos(-20°)와 같으며, 삼각함수의 대칭성에 의해 cos(-θ) = cos(θ)이므로 다음과 같이 변형됩니다:

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(1/2) * [cos(40°) - cos(20°+40°)] * sin(80°)

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cos(20°+40°)는 cos(60°)와 같으며, 삼각함수의 값에서 cos(60°) = 1/2이므로 다음과 같이 변형됩니다:

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(1/2) * [cos(40°) - (1/2)] * sin(80°)

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이제 삼각함수의 곱셈공식인 "sin(A) * sin(B) = (1/2) * [cos(A-B) - cos(A+B)]"을 다시 사용하면, 위의 식을 다음과 같이 변형할 수 있습니다:

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(1/4) * [cos(40°-80°) - cos(40°+80°)]

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cos(40°-80°)는 cos(-40°)와 같으며, 삼각함수의 대칭성에 의해 cos(-θ) = cos(θ)이므로 다음과 같이 변형됩니다:

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(1/4) * [cos(40°) - cos(40°+80°)]

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cos(40°+80°)는 cos(120°)와 같으며, 삼각함수의 값에서 cos(120°) = -1/2이므로 다음과 같이 변형됩니다:

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(1/4) * [cos(40°) - (-1/2)]

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이제 우리는 cos(40°)의 값을 알아야 합니다.

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cos(40°) ≈ 0.76604444311 (소수점 아래 11자리까지 반올림하여 표기)

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따라서, 식을 계산하면 다음과 같습니다:

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(1/4) * [0.76604444311 - (-1/2)]

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= (1/4) * [0.76604444311 + 1/2]

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= (1/4) * [0.76604444311 + 0.5]

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= (1/4) * 1.26604444311

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= 0.316511