수학 1 로그함수

로그함수의 가장 기본적인 내용인데 책을 다시 한 번 자세히 읽어보시는 걸 추천드립니다.

로그함수는 밑과 진수로 주어지고

지수함수와 이러한 관계가 있습니다.

여기서 a를 밑, x를 진수라고 합니다.(지수함수에서는 a가 밑, y가 지수라고 하죠.)

두 함수가 역함수 관계에 있고, 로그함수는 지수함수의 계산을 반대로 하여 구하므로 난해한 점이 있습니다.

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다만 둘이 역함수 관계에 있다는 사실 하나만으로 알 수 있는 여러 가지 성질이 있는데, 그것들이 바로 위에 주어진 문제에 해당하는 내용들입니다.

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1번은 평행이동에 관한 내용인데, y - a = f(x - b) 형태로 주어진 함수는 y = f(x) 로 주어진 함수에서 x축으로 b만큼, y축으로 a만큼 평행이동한 함수입니다.

따라서 주어진 함수를 다시 쓰면

y - 1 = log_2 (x + 4)

가 되고, a = 1, b = -4 이죠.

이것은 y = log_2 x 를 x축으로 -4만큼, y축으로 1만큼 평행이동한 것입니다.

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2번은 로그함수가 무한히 가까워지는 점근선에 대한 내용입니다.

기본적으로 지수함수 y=a^x는 y=0에 무한히 가까워지지만 0의 값을 가질 수 없죠.

지수함수와 역함수 관계에 있는 로그함수 y = log_a x는 y=0이 아니라 x=0 (y→x) 에 무한히 가까워지지만 x=0의 값을 가질 수 없습니다.

그런데 주어진 함수는 y=log_2 x를 x축방향으로 -4만큼 평행이동한 함수이므로 점근선은 x=-4가 됩니다.

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3번은 y절편, 즉 주어진 함수가 y축(x=0)과 만나는 점을 물어보는 문제입니다.

주어진 함수에 x=0을 대입하면 log_2 4 + 1 = log_2 2^2 + 1 = 2 + 1 = 3을 얻을 수 있습니다.

따라서 y절편 3이 됩니다.

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4번은 주어진 로그함수가 정의되는 범위를 물어보는 질문입니다.

로그함수는 지수함수와 역함수 관계에 있으므로 지수함수의 치역이 로그함수의 정의역이 됩니다.

지수함수의 치역이 y ≥ 0 이므로 로그함수의 정의역은 x ≥ 0이 됩니다.

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5번도 마찬가지로 지수함수의 정의역이 로그함수의 치역이 되므로

로그함수의 치역은 실수 전체가 됩니다.

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