피보나치 수열 질문

안녕하세요 목동수학학원 길벗아카데미 수학과 서통영T 입니다.

​주어진 질문을 고등학교 2학년 3등급 이하 학생을 대상으로 설명하겠습니다.

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왼쪽 풀이에서는 ​토끼들의 성장에 맞춰서 매달 어떻게 변해가는지를 표를 통해서 그려봤습니다.

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오른쪽 풀이는 수열 an을 "n번째 달의 전체 토끼 쌍의 수", 수열 bn을 "n번째 달의 대(어른)토끼 쌍의 수"라 상정하고 수열사이의 관계를 고려해서 점화식을 이끌어 내어 풀었습니다.

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"이번 달 전체 토끼 쌍의 수"는 "지난 달 전체 토끼 쌍의 수"에 "이번 달에 새로 태어난 토끼 쌍의 수" 이고

이번 달의 전체 어른토끼들(이번 달에 새로 어른이 된 토끼 포함)은 1일에 그만큼의 새끼를 낳았기 때문에

"이번 달에 새로 태어난 토끼 쌍의 수"는 "이번 달의 어른토끼 쌍의 수"와 동일합니다.

위 사실을 식으로 나타낸 것이 ①번 식입니다.

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그런데 "이번 달 어른토끼 쌍의 수"는 "지지난달 전체 토끼 쌍의 수"와 같습니다.

따라서 ②번 식이 성립하고, 이것을 ①번 식에 대입하면 다음과 같은 점화식을 얻을 수 있습니다.

이렇게 얻은 점화식을 통해 계속 진행해가면 a7=13이 되고

전체 토끼 수는 26마리가 됩니다.

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초항이 달라도 점화식의 관계식이 동일하면 모두 피보나치 수열이라 부를 수 있습니다.

인터넷을 통해 피보나치 수열이 쓰이는 다른 예제들을 찾아보시고 여러 번 풀어보시면

어떤 경우에 피보나치 수열을 따라가고 초항에 따라 결과가 어떻게 변해가는지를 확인해 보시면 더 많이 이해하실 수 있을겁니다.

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이 문제보다 다른 유형으로 피보나치 수열을 이용하는 경우가 종종 있고, 토끼 문제가 나와도 조건이 변형되어 나오기도 합니다.(토끼가 일정 시간 지나면 죽거나, 새끼를 못 낳거나 등) 왼쪽 풀이처럼 표를 이용해서 푸는 방법도 익혀두시면 좋습니다. 다만 시간이 많이 소모되는 단점이 있습니다.

출제율 2.0/5.0, 난이도 2.9/5.0 입니다.

​풀이에 다른 질문이 있으면 추가질문 해주세요.

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도움이 되셨길 바랍니다.

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