수학문제 풀어주세요!

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수학문제 풀어주세요!

작성일 2024.05.18댓글 1건
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삼차방정식 x 3승+ax+b=0의 한근이 2-- 루트3 분의 1일때 유리수 a, b 에대하여 a+b의 값을 구하여라

라는 문제인데

답이 이런데 저 앞뒤로 물결 친 부분이 맞는건지 잘모르겠어서 질문드립니다..

답 -19
해결전략ᅵ켤레근의 성질을 이용하여 삼차방정식의 미지수
를 구한다.
STEP1 분모의 유리화와 켤레근의 성질 이용하기
주어진 삼차방정식의 계수가 모두 유리수이므로 한 근이
1
2-'3
, 즉 2+'3이면 2-'3도 근이다.
STEP2 a, b의 값 구하기
나머지 한 근을 a라고 하면 삼차방정식의 근과 계수의 관
계에 의하여
(2+'3)+(2-'3)+a=0 ∴ a=-4
(2+'3)(2-'3)+(2+'3)a+(2-'3)a=a에서
1+4a=a ∴ a=-15

~(2-'3)(2+'3)a=b에서 a=b ∴ b=-4~

STEP3 a+b의 값 구하기
∴ a+b=-15+(-4)=-19



profile_image 익명 작성일 -

x^3 + ax + b = 0 의 한 근이 1/(2-루트(3)).

1/(2-루트(3)) = 2+루트(3) 이므로, 2-루트(3) 도 근이 됨.

​

STEP2에서, 나머지 한 근을 a라 했는데, 이는 잘못임.

a는 문제에서 사용한 문자.

문제에서의 a와 나머지 한 근이 같은 것이 아닌 데, 나머지 한 근을 a라 하여 혼돈 유발(사실 잘못된 것임).

나머지 한 근을 p라 하면,

( 2+루트(3) ) + ( 2-루트(3) ) + p = 0. ∴ p = -4

( 2+루트(3) )( 2-루트(3) ) + p( 2+루트(3) ) + p( 2-루트(3) ) = a

1 + 4p = a. ∴ a = -15

( 2+루트(3) )( 2-루트(3) )p = b

p = b. ∴ b = -4

​

이에, 구하는 답은

a + b = (-15) + (-4) = -19

​

* 이런 식으로 정리되어야 함.

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