고1 수학 질문이요

간단한 앞부분 내용은 생략하겠습니다.

z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0입니다.

z^7 = 1이고요

x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0이라는 방정식에

x = z를 넣으면 성립합니다.

x = z^2를 넣으면

z^12+z^10+z^8+z^6+z^4+z^2+1

= z^5+z^3+z+z^6+z^4+z^3+z^2+1 = 0으로 성립하고

x = z^3를 넣으면

각 항 지수가 18, 15, 12, 9, 6, 3, 0 이 되고 4, 1, 5, 2, 6, 3, 0 이 되어 성립

z^4인 경우 24,20,16,12,8,4,0이 되고 3,6,2,5,1,4,0이 되어 성립

z^5인 경우 30,25,20,15,10,5,0이 되고 2,4,6,1,3,5,0이 되어 성립

z^6인 경우 36,30,24,18,12,6,0이 되고 1,2,3,4,5,6,0이 되어 성립

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즉, z ~ z^6 이 모두 문제에서 말하는 복소수 z가 될 수 있습니다.

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그런데 문제를 저렇게 낸다는 것은 이 여섯개의 복소수 중 무엇을 넣든 저 식의 값이

일정하게 나온다는 것을 전제로 합니다.

(그렇지 않다면 질문자가 어떤 z를 넣느냐에 따라서 답이 달라지니까요..)

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....

그런데 보기가 두개씩 나오네요..

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저 식은 지수를 단순화 하면 1, 4, 0, 2 가 되는데

각 z위치에 z~z^6을 넣어보면 다음과 같이 됩니다.

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z + z^4 + 1 + z^2

z^2 + z + 1 + z^4

z^3 + z^5 + 1 + z^6

z^4 + z^2 + 1 + z

z^5 + z^6 + 1 + z^3

z^6 + z^3 + 1 + z^5

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즉,

1+z+z^2+z^4 과

1+z^3+z^5+z^6 의

두가지 값이 나옵니다.

두 값의 합은 1 + (1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6) = 1이 됩니다.

그러면 보기 중 4,5번 둘 중 하나로 추려집니다.

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지금 보기 구조로 봐서는 이 두 값의 합도 간단하지만 곱도 간단할 것 같습니다. (켤레니까)

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둘을 곱하면 (편의상 지수만 적겠습니다.) 각 항의 지수를 간단히 한 것을 나열하면

0,1,2,4, 3,4,5,0, 5,6,0,2, 6,0,1,3 으로

0이 4개, 1~6이 2개씩 이므로 0~6인 것들을 묶어 0처리하면

둘의 곱은 2 입니다.

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합인 1이고 곱은 2인 두가지 결과가 나옵니다.

t²-t+2 = 0의 두 근이 됩니다.

(1±√(1-8))/2 = (1±√7i)/2입니다.

⑤

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모르는 상태에서 탐색을 하다보니

저 난이도의 부분은 간략히 하고

탐색과정에서 표기가 간략히 한 점 양해 부탁 드립니다.

(저도 노력의 한계가 있어서.. 처음 풀다 보니... 그랬습니다.)

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