f(2x) = 8x일 때, f(x) = 4x 가 아닌 이유

f(2x) = 8x일 때, f(x) = 4x 가 아닌 이유

작성일 2023.07.01댓글 2건
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수학의 정석 수학 하 실력 25-8번 문제를 풀고 있는데요
f(2x) = 8x일 때, f(x) = 4x 가 아닌 이유가 궁금합니다
x에 1/2을 대입하면 만족할 수도 있지 않나요??
그런데 f(x)를 아무 함수나 잡고 해도 제 생각이 틀리네요
어느 부분을 놓치고 잘 못 생각하고 있는건지 궁금합니다!

또, f(2x) = 8x에서 f(x)가 어떤 함수라도 항상 x가 같은 변수를 의미하는 게 맞는 거죠??



profile_image 익명 작성일 -

일단 두번째 질문은 맞고, 첫번째 질문이 틀린이유를 말씀드리겠습니다.

일단 질문자님처럼 예시로 들어서 반례가 있기때문에 틀렸다고 생각하고 넘어가셔도 되고,

x를 실수전체로 생각하면 좀 헷갈릴 수 있어서 수열로 예시를 들어보겠습니다.(왜냐하면 수열은 정의역이 연속적이지 않고 자연수이기 때문에 좀 더 직관적으로 와닿을 겁니다.)

f(2x)=a2n f(x)=an으로 생각하심돼요.

먼저 a2n=n 이라고 문제에서 주어졌다고 생각을 해보면 a2,a4,a6...은 각각 1,2,3...이 되겠죠? 그런데 그렇다고 n자리에 1/2n을 넣어도 an=1/2n이 될까요?

모르죠. a1은 문제에서 정의해주지 않았거든요. 님말대로면 a1=1/2가 돼야되는데, 그건 모른다가 되는겁니다. 한마디로 문제에서 정의를 해준 함수f(2x)=~~의 정의역의 간격이 f(x)의 그래프보다 넓기 때문에 그 사이에 있는 정의역의 치역값을 모르기때문에 성립한다고 볼 수 없는겁니다.

profile_image 익명 작성일 -

(1) x에 어떤 제한 조건이 있지 않고 임의의 실수라면 x에 x/2 를 대입하여 f(x) = 4x --- (ㄱ) 가 됩니다.

이게 안된다는 것은 아마 x에 제한조건이 있지 않나 싶네요. 예를 들어 x가 정수

(2) 한 방정식에서의 변수는 당연히 같은 변수입니다.

그런데 주어진 방정식의 x와 (ㄱ)에서의 x는 같은 x가 아닙니다.

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