고등학교 일상생활 쓰이는 수학

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고등학교 일상생활 쓰이는 수학

고등2학년 수학으로 일상생활 속 쓰이는 수학이 뭐가 있나요?

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(1) 보온병은 왜 원기둥 모양일까?

음료수병이나 보온병 등 액체를 담는 용기들은 대부분 원기둥 모양이다. 여기에는 어떤 수학적 이유가 있을까? 용기를 만들 때는 언제나 재료를 적게 들이고도 많은 양의 액체를 담을 수 있어야 한다. 원의 넓이와 일부 정다각형의 넓이 그리고 둘레의 길이를 직접 비교해 보면,

면적이 똑같이 100제곱센티미터인 정사각형의 둘레의 길이는 40cm이고 같은 면적인 정삼각형의 둘레의 길이는 45.6cm이다. 그러나 같은 면적인 원의 둘레의 길이는 약 35.4cm 밖에 안된다. 다시 말하면 넓이가 같은 원, 정사각형, 정사각형 등의 도형에서 원의 둘레의 길이가 가장 짧다.그러므로 같은 양의 액체를 담을 수 있고 높이가 같은 용기들 가운데서 원기둥 모양의 용기가 그 옆면에 드는 재료가 가장 적다. 그래서 휘발유 통이나 보온병등 액체를 담는 용기는 대부분이 원기둥 모양으로 되어있다. 원기둥 모양 보다 재료가 더 적게 드는 모양은 있다. 수학적 원리에서 보면 같은 재료로 만든 용기들 가운데 구(원) 모양의 용기의 용적이 원기둥 모양의 용기보다 더 코고 구 모양의 용기를 만들면 재료가 더욱 절약된다. 하지만 구 모양의 용기는 잘 구르기 때문에 불안정하며 덮개로 만들기 어렵다. 그러므로 구 모양의 용기는 실용적이지 못하다.

결론 : 같은 양의 액체를 담을 EO 높이가 같은 용기들 가운데서 원기둥모양의 용기를 사용하는 것이 옆면에 드는 재료가 가장 적기 때문에 액체를 담을 수 있는 용기들은 대부분은 원기둥이 된다.

(2) 물건값을 쉽게 계산하려면 일차함수 식을 사용해라?

① 편의점에서 하나에 300원 아이스크림을 10개를 사고 50원짜리 봉투에 넣었을 때, 지불해야 하는 총 금액은 3,050원이다.(일반화) 하나에 300원씩 10개이므로 아이스크림의 값은 300× 10=3,000원이 되고, 봉투 50원이 더해지면 지불해야 하는 금액 3,050이 된다.일반적으로 a원씩 하는 물건 x개를 사고, 그것을 b원하는 봉투에 넣었을 때, 지불하는 총 금액은 y원이다. 이것을 일차함수 식으로 표현하면,y=ax+b② 친구들 30명이 9,000원을 가지고 한명이 아이스크림을 하나씩 먹을 수 있도록 1개에 300원하는 아이스크림을 사기로 하였다.(일반화) 9,000원을 가지고 30명이 아이스크림을 하나씩 먹도록 하려면, 9,000÷ 30=300원짜리를 30개 사야한다.일반적으로 a원을 가지고 x명이 하나씩 물건을 나누어 가지려면, 사야할 문건의 단가는 y원이다. 이것을 일차함수 식으로 표현하면,y=a/x

이렇게 일차 함수로 식을 세워 계산을 하면 더 쉽게 정확한 값을 구할 수 있다.

(3) 어떤 수박을 사야할까?

매일 사용하는 세수 비누나 두루마리 화장지는 처음에는 아무리 써도 줄어들 것 같지 않다. 그러다가 뭉치가 작아지기 시작하면 금방 닳아 없어지고 만다. 이럴 때, 그 이유를 곰곰이 생각해 스스로 해답을 찾게 되면, 그야말로 그 순간부터 갑자기 수학의 재미를 느끼기 시작할 것이다. 이 두 가지 경우는 똑같은 원리에 의해 일어난다. 즉, 닮음비와 넓이의 비, 부피의 비의 관계가 그것이다. 비누의 가로x세로x높이의 길이가 각각 처음의 1/2로 줄어들면 그 비누의 부피는 1/8로줄고, 두루마리의 반지름이 1/2일 때 그 두루마리 화장지의 길이는 1/4이다. 과일 가게에서 과일을 고를 때에도 닮음비를 알고 있으면 이득을 본다. 할인점 식품매장에 가면 수박을 반으로 잘라서 파는 모습을 종종 볼 수 있는데 이에는 닮음비를 이용한 교묘한 상술이 숨어있다. 5,000원을 가지고 수박을 사려는데 지름이 20cm인 수박이 1,000원이고 지름이 40cm인 수박이 5,000원이라면 어떤 걸 골라야 할까? 얼핏 생각하기에 20cm인 수박 다섯 개를 사는게 훨씬 이익일 것 같지만 따져보면 그렇지가 않다. 닮음비가 1:2이면 부피의 비는 1 대 2의 3제곱 즉, 1:8이다. 따라서 지름이 40cm인 수박과 같은 부피가 되려면 지름 20cm인 수박 8개가 있어야 한다. 그러므로 수박을 구입할 때 부피의 비를 적용해 보면 좋다.

(4) 두루마리 휴지에도 수학이 적용된다?

두루마리 화장지는 둥근 원통형이다. 이 두루마리 화장지는 통의 넓이가 일정하므로 원통의 부피는 원의 넓이에 비례한다. 우리가 '화장지가 반쯤 남았군'하고 생각할 때는 원의 반지름이 반으로 줄었을 때이다. 그러므로 남은 화장지의 양은 4분의 1밖에 남지 않은 것이다. 아직 조금 남아 있는 것 같은 때는 사실 남은 화장지의 양은 900분의 1밖에 되지 않는다. 그러다 보니 위기 상황이 발생되는 것이다. 화장실에는 반드시 예비 화장지를 준비해 놓아야 한다.

샤워할 때도 닮음의 원리는 모습을 드러낸다. 흔히 사용하는 비누는 처음에는 잘 줄어들지 않는다. 그런데 어느 순간부터는 순식간에 줄어들더니 나중에는 너무 얇아져서 그냥 부러져 버리고 만다. 왜 그럴까? 여기에도 닮음의 원리가 적용된다. 우리가 비누의 크기가 반으로 줄어들었다고 생각할 때 사실은 가로, 세로, 높이가 모두 반으로 줄어든 것이다. 따라서 부피는 8분의 1로 줄어든 것이다. 그러니까 거의 90%(87.5%) 가까이 써버린 것이다. 남은 비누의 양이 더욱 빠른 속도로 줄어드는 것은 당연하다.

우리가 원뿔을 뒤집어 놓은 모양의 아이스크림 콘을 반쯤 먹었다고 생각했을 때 사실 남은 건 얼마일까? 우리가 반쯤 먹었다고 생각할 때는 보통 아이스크림의 높이가 반쯤 됐을 때이다. 그러니까 남아 있는 아이스크림의 닮음비는 2:1이 된다. 그럼 부피의 비는? 닮음비의 세제곱을 해야 하니까 8:1이 된다. 남은 아이스크림의 양은 처음의 8분의 1밖에 안 된다는 것이다. 그럼 어떻게 해야 하는가? 남이 뭐라든 쫀쫀하게 아껴 먹는 수밖에 없다.

(5) A4용지의 비밀?

복사용지를 포함해 가장 많이 사용되고 있는 종이가 바로 A4 용지다. A4 용지의 규격은 297mm×210mm이다. 단순하게 300mm×200mm로 정하면 훨씬 편했을 텐데 왜 이렇게 복잡한 수치가 쓰였을까? 게다가 A4 용지는 우리 눈에 가장 아름답게 보인다는 황금비를 이루지도 않는다. 황금비는 (1 +√5) / 2≒1.618인 반면, A4 용지의 폭에 대한 길이의 비는 약 1.414이다.(종이의 경제학)일상 생활에서 사용되는 종이는 제지소에서 만든 큰 규격의 전지를 절반으로 자르고 또다시 절반으로 자르는 과정을 반복하면서 만들어진다. 그런데 이렇게 절반으로 자르다 보면, 원래의 규격과 다른 모양이 될 수 있다. 예를 들어 300mm×200mm와 같이 폭에 대한 길이의 비가 1.5인 종이를 절반으로 자르면, 200mm×150mm 크기로 만들어지고 이때의 비는 1.333(4/3)이다. 1.333의 비를 가진 직사각형은 1.5의 비를 가진 처음 종이에 비해 뭉툭해 보인다. 이런 종이를 실생활에 필요한 용도로 이용하기 위해서는 일부를 잘라내어 보기 좋은 형태로 만들어야 한다. 그렇게 되면 아까운 종이와 펄프를 낭비하게 된다. 독일공업규격 위원회(Deutsche Industrie Normen)는 큰 종이를 잘라서 작은 종이를 만드는 과정에서 종이의 낭비를 최소로 줄일 수 있는 종이의 형태와 크기를 제안했다. 적절한 규격을 선택했을 때, 타자지의 절반을 그대로 편지지로 사용하고 편지지의 절반을 그대로 메모지로 사용한다면 종이를 많이 절약할 수 있을 것이라고 여겼다. 이렇게 해서 등장한 것이 A4 용지다.문제는 닮은꼴 절반으로 자르는 과정에서 만들어지는 종이를 그대로 사용하기 위해서는 어떻게 해야 할까. 우선 전지의 규격이 보기 좋아야 하고, 이를 절반으로 자르고 또다시 절반으로 자른 작은 종이들이 전지의 규격과 같으면 바람직하다. 수학적으로 말하면 서로 닮은꼴이어야 한다는 얘기다.(전지의 길이) : (폭)을 x : 1이라고 하자. 그러면 이것을 절반으로 자른 (종이의 길이) : (폭)은 1 : x/2 이다. 두 직사각형이 서로 닮은꼴이므로 비례식 x : 1 = 1 : x/2 가 성립하고, 이로부터 이차 방정식 x²=2 를 얻는다. 그래서 x = √2 이다. 이렇게 전지의 폭에 대한 길이의 비를 √2 로 택하면, 반으로 자르는 과정에서 이 비가 항상 유지된다. 1 : √2 는 황금비는 아니지만 눈으로 보아서 그렇게 큰 차이가 나지 않는다. 이렇게 도형의 닮은꼴, 비례식, 이차 방정식, 무리수 등의 수학적 개념이 실생활에 유용한 종이의 재단에 이용된다.

(6) 빵 3개를 4명에게 나눠주는 비결?

바야흐로 디지털 시대다. 디지털 시대에 더 적합한 것은 '분수'보다는 '소수'라고 할 수 있다. 바로 읽기만 하면 된다. 그런데 아날로그 시계는 시침이나 분침 위치에 따라 시간을 따져봐야 한다. 이 때 필요한 것이 분수적 사고다. 수학사(史)에서도 분수는 소수보다 일찍 등장했다. 고대 이집트 때부터 이미 분수를 광범위하게 사용했는데 주목할 만한 것은 분수를 분자가 1인 단위분수의 합으로 나타냈다는 점이다. 인류 최초의 수학책인 '아메스의 파피루스'에는 '2/5 = 1/3 +1/15'이나 '2/7 = 1/4+ 1/28'과 같이 분수를 단위분수의 합으로 나타낸 기록을 찾아볼 수 있다. 왜 이런 시도를 했을까? 분배를 염두에 두었기 때문이 아닐까 추측할 수 있다. 예를 들어 3개의 빵을 4명이 똑같이 나눠야 하는 상황인 3/4을 생각해보자. 처음부터 3개를 4조각으로 나누려면 힘이 든다. 그런데 일단 빵 2개를 절반으로 쪼개 4명이 각각 한조각씩 나눠 갖고, 나머지 빵 한개는 4등분해 한조각씩 가지면 훨씬 쉽다. '3/4 = 1/2(2/4) + 1/4'이기 때문이다. 단위분수의 합을 이용하면 균등한 분배 상황을 간편하게 표현할 수 있다.

잘 알려진 이야기 하나. 옛날 아라비아의 어떤 상인이 자기 재산인 낙타 17마리를 큰아들은 1/2, 둘째 아들은 1/3, 셋째 아들은 1/9을 가지라고 유언하고 죽었다. 문제는 17이 2, 3, 9로 나누어 떨어지지 않아 1/2, 1/3, 1/9을 정수로 구할 수 없었다는 것. 삼형제가 낙타를 놓고 싸움을 계속할 때 지나가던 노파가 자기가 타고 있던 낙타 한마리를 보태줬다. 낙타가 18마리가 되자 삼형제는 1/2인 9마리, 1/3인 6마리, 1/9인 2마리를 각각 가질 수 있었다. 게다가 9마리, 6마리, 2마리의 합은 17마리이므로 노파도 희사했던 자기 낙타를 다시 돌려받았다. 모든 사람이 윈-윈하게 된 비결은 '1/2 + 1/3 + 1/9'이 1이 아니라 17/18이기 때문이다.자료출처 : 박경미(홍익대 수학교육과 교수) 2003년 08월 28일 중앙일보(라이프)

(7) 벌집은 왜 정육각형 모양일까?

벌집을 잘라 보면 정육각형이 쌓여있는 모양이다. 정삼각형의 한 내각은 60도. 한 꼭지점에 6개를 맞붙이면 3백60도가 된다. 마찬가지로 한 내각이 90도인 정사각형 4개나, 한 내각이 1백20도인 정육각형 3개를 한 꼭지점에 모으면 3백60도가 된다. 모든 변의 길이가 같은 정다각형 중 평면을 빈틈없이 메울 수 있는 것은 정삼각형. 정사각형. 정육각형, 이렇게 세가지 뿐이다. 이제 꿀벌은 이중 하나를 선택해야만 하는데, 이 세가지 도형 중 꿀벌이 굳이 정육각형을 택한 이유는 정삼각형으로 벌집을 만들면 견고하기는 하다.

하지만 집을 짓는데 드는 재료에 비해 확보되는 공간이 넓지 않다. 정확하게 말하면 동일한 공간의 방을 만드는데 정육각형에 비해 두배의 재료가 든다. 정사각형으로 만들 경우엔 양 옆에서 조금만 건드려도 잘 흔들리기 때문에 외부의 힘에 쉽게 무너질 수 있다. 하지만 정육각형은 붙여놓았을 때 서로 많은 변이 맞닿아 있어 구조가 안정적이다. 또 재료에 비해 넓은 공간을 얻을 수 있기 때문에 경제적이다. 그런 이유로 꿀벌들이 벌집을 지을때 정육각형으로 짓는 것이다. 사실 자연계에선 정육각형을 서로 이어붙여 평면을 메운 예를 흔하게 찾아볼 수 있다. 곤충의 눈이 그렇고, 잠자리의 날개, 눈의 결정 모양에서도 정육각형이 발견된다. 자연계뿐 아니다. 비행기 날개의 내부도 벌집형 구조로 돼 있다. 이 역시 가볍고 튼튼하면서도 재료가 적게 들기 때문이다. 꿀벌이 만드는 육각형의 방은 벽의 두께가 0.1mm 정도로 그 넓이와 그것을 만드는 재료를 놓고 볼 때, 가장 합리적이며 경제적인 구조라 볼 수 있다. 정육각형의 벌집 안에 꿀을 저장하면 자체 중량의 30배 가까이 저장할 수 있고 육각형의 방은 위로 9~14도 정도 치켜올려져 있어서 꿀이 바깥으로 전혀 흐르지 않는다.

(8) 범인을 잡을때 미란다 원칙을 쓴다?

대부분의 학생들은 중학교 2학년 도형의 성질이라는 대단원에 들어서게 되면 이전과는 다른 학습부담을 느끼게 된다. 내심 수학에 자신있어 하는 학생들도 진지하게 상담을 해오는 경우가 종종 있는데 이는 그 단 적인 증거라 할 수 있겠다.'이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같다.'라는 것을 증명하고 난 바로 다음 '두 내각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형이다.'를 증명하여야 하니 학생들은 당연해 보이는 것을 왜 또 증명하여야 하는가 하고 답답하기도 할 것이다.그런데 이런 답답함을 느끼는 사람은 비단 학생들뿐이 아닌 것 같다. 빨간 불이 켜져 있는 신호등을 무시하고 달려오는 차를 붙잡은 교통경찰관도 마찬가지인 경우가 종종 있기 때문이다. 교 통법규를 눈앞에서 위반해 놓고도 잘 달리는 차를 왜 세우느냐고 따지는 운전자에게 뭘 잘못했는지는 자신이 더 잘 알지 않느냐는 식으로 상대방을 무시한 채 딱지를 발급할 수는 없다. 법을 어긴 사람에게 벌을 줄 때 그 사람이 무엇 때문에 벌을 받아야 하는지 모르는 경우 그 이유를 확실히 알게 하고, 또는 억울하게 죄를 뒤집어쓰는 일이 없도록 그 억울함을 호소할 수 있는 변명의 기회를 주어야 한다는 법의 정신이 만들어낸 '미란다 원칙' 때문이다. 외국영화에서 범인과의 쫓고 쫓기는 추격전 끝에 범인을 잡은 형사들이 그 뻔한 죄인에게 자신의 죄명을 말로써 확인하는 장면을 한 번쯤은 보았을 것이다. 그렇다면 이처럼 당연한 것을 주먹을 휘두르거나 윽박지르지 않고 왜 그런 결론이 나오게 되었는지를 차근차근히 밝히는 서구인들의 습관은 어디에서부터 비롯된 것일까? 그들의 이러한 태도는 수학에서의 증명법과도 무관하지 않은데 이러한 습관이 법의 정신에 반영된 결과가 '미란다 원칙'이라면 수학의 정신에 반영된 결과는 유클리드 기하학이 따르고 있는 '증명법'이라고 할 수 있을 것이다.

(9) 수퍼마켓의 바코드에도 수학이 쓰인다?

출생 신고를 하면서 부여되는 주민등록번호를 시작으로 학교와 직장에서의 번호, 전화 번호, 아파트 동수와 호수, 버스 번호, 전철과 도로 등 우리는 숫자와 생활하고 있다고 해도 과언이 아니다.슈퍼마켓과 서점에서 구입하는 대부분의 상품과 서적에도 숫자가 붙어있다. 이 숫자들은 여러 개의 검은 막대와 흰 막대를 달고 다닌다. 이것이 해당하는 숫자를 나타내는 바코드다. 스캐너로 읽히는 바코드는 판매 즉시 판매량과 금액 등 판매와 관련된 각종 정보를 신속하고 정확하게 집계해 재고 관리와 유통 업무를 효율적으로 처리할 수 있도록 한다. 그런데 바코드가 잘 읽히지 않아 스캐너를 여러 번 접촉시키다가 결국에는 키보드로 숫자를 입력하는 경우를 종종 볼 수 있다. 뿐만 아니라 바코드가 불명확하거나 유통 과정에서 손상되면, 스캐너는 다른 숫자로 읽을 수도 있다. 이런 문제에 대비해 바코드에는 체크 숫자라는 안전장치가 돼 있다. 이것은 상품의 정보를 간직한 고유 번호가 잘못 읽혀지는 것을 찾아내기 위한 숫자다.바코드와 비슷한 유형의 수학이 사용되는 ‘상품 번호’우리 나라 상품에 붙어 있는 바코드는 유럽 상품 번호(EAN)를 따르고 있다. 통상 13개의 숫자로 이루어 지는데 처음 세 개의 숫자 ‘880’은 한국, 다음의 다섯 개는 제조업자이고, 그 다음 다섯 개는 상품을 나타내는 고유 번호인데 이중 마지막 숫자가 체크 숫자이다. 체크 숫자는 홀수번째 자리에 있는 숫자들을 그대로 더하고 짝수 번째 자리에 있는 숫자들은 3배해서 더한 전체의 합이(모듈 번호) 10의 배수가 되도록 정한다. 예를 들어 8801037002782의 경우를 생각해 보자. 이렇게 체크 숫자를 정하면, 한 개의 숫자를 잘못 읽은 경우를 모두(100%) 찾아내고, 인접한 두 숫자를 바꾸어 입력한 경우도 ‘대부분’(정확하게는 88.9%) 찾아낼 수 있다. 이것은 짝수번째 자리의 숫자에 3을 곱하는 가중치를 둔 효과다. 상품 번호의 약점 중 하나는 인접한 두 숫자의 차가 5일 때, 이 두 숫자를 바꾸어 입력한 경우에는 오류를 찾아낼 수 없다는 점이다. 예를 들어 위의 바코드에서 27을 72로 바꾸어 8801037007282로 입력했다고 하자. 그래도 결과는 10의 배수가 되므로 컴퓨터는 오류를 인식할 수 없다. 따라서 제조업자는 상품 번호를 정할 때 이런 경우를 미리 피해야 한다. 담배 같은 경우는 상품 번호가 8개의 숫자로(8800-9605) 이뤄졌다(그림2). 이런 경우에는 홀수 번째 자리에 있는 숫자들을 3배해서 더하고 짝수 번째에 있는 숫자들은 그대로 더한 전체의 합이 10의 배수가 되도록 체크 숫자를 정한다. 왜냐하면 체크 숫자에는 가중치가 곱해지지 않도록 하기 위해서다.

(10) 병마개의 톱니수가 21개인 이유는?

우리가 흔히 접하고있는 왕관마개(병뚜껑)의 톱니수가 몇개인지 알고 있습니까? 크기에 상관없이 21개로 되어 있다고 한다.1892년 미국의 농부였던 페인타 부부가 발명한 이후로 이 병마개의 모양이나 톱니수는 한번도 바뀌지 않았다고 한다. 그런데 이 병마개의 톱니스가 21개인것은 수학적인 계산으로 이루어 졌다고 한다.삼각형의 꼭지점을 찍어서 톱니를 만들었는데 이것이 일곱번인 21개의 톱니로 이루어 졌다고 하며 이수가 가장 합리적이고 완벽한 숫자라고 하는데, 삼각형의 세 꼭지점은 가장 안정된 중심이고 이 꼭지점(톱니수)의 수가 21개의 톱니수보다 적으면 헐거워서 (느슨해서)마개가 너무 쉽게따지는 단점과함께 공기가 통과해서 내용물의 부패를 초래할수가 있고 21개보다 톱니수가 많으면 너무 단단해서 마개를 따는데 어려움이 있다고 한다.그러나 21개의 톱니수는 병속의 내용물이나 공기등이 새지도 않으며 또한 병따는데도 가장 적당하다고 합니다 만일 톱니수를 더 많이 한다면 병 마개를 딸때에 가하는 힘에 유리가 파손된다고 한다.내용물의 부식을 완전하게 방지하고 병마개를 따는데도 가장 적당한 숫자 21, 이러한 원칙과 계산을 통하여 만들어진 병마개 덕택으로 우리는 안전하고도 시원한 음료를 즐길 수 있게 된 것이다. 참고로 페인타 부부가 이 병마개를 발명한것은 무심코 마신 음료수(소다수라고함)가 상해서 식중독으로 무진 고생을 하고 나서 안전하고도 오래 보관할 수 있는 병마개를 연구하여 만들었다고 한다.