중학교 2-2 총정리

우선, 저는 이 글을 쓰기 전에 단원명이나 목차가 정확하지 않을 수도 있다는 점 미리 알려드립니다. 또한 이 정리에는 심화 내용을 포함하고 있으며, 심화 내용은 빨간색으로 쓸 테니, 필요 없으시면 그냥 건너뛰면 됩니다. 또한, 중요한 내용은 파란색으로 표시해 놓으니, 참고하시면 좋을 것 같습니다.

1단원에서는 삼각형의 성질에 대해서 나옵니다. 이 내용은 초등학교 때도 이미 다루었던 내용입니다. 따라서, 초등학교 교과서에 나오는 내용(ex. 삼각형의 내각의 합은 180도이다)은 생략하겠습니다.

첫 번째로, 이등변 삼각형의 성질에 대해서 알아보겠습니다. 우선, 이등변 삼각형은 말 그대로 두변의 길이가 같은 삼각형을 말합니다. 또한, 이등변 삼각형은 두 밑각의 크기가 같습니다. 그리고 지금 말하는 게 새로 나오는 내용인데,

이등변 삼각형에서의 꼭지각의 이등분선은 이등변 삼각형의 밑변을 수직 이등분합니다.

그리고, 이등변 삼각형의 활용에서 가장 잘 나오는 유형은, 직사각형을 교차해서 접은 경우입니다. 이 내용은 잘 이해가 안가실 수 도 있는데, 질문해 주시면 답변드리겠습니다.

두 번째로는 직각 삼각형의 성질에 대해서 나옵니다. 직각 삼각형은 아시다시피, 한각이 직각인 삼각형입니다. 그리고, 직각 삼각형에는 아주 핵심적인 내용이 있는데, 이건 피타고라스 단원에서 설명드리도록 하겠습니다.

2단원에서는 피타고라스의 정리가 나옵니다. 아마도 익히 들어보셨을 것 같은데요, 어렵다고 소문이 난 단원입니다. 하지만, 전혀 어려워할 필요가 없습니다.

우선 피타고라스의 정리를 식으로 나타내자면,

입니다. 여기서 a는 빗변이 아닌 한 변을, b는 빗변이 아닌 나머지 한 변을, c는 빗변을 의미합니다. 정리 안되실 것 같아서 pdf 파일로 증명과 그 원리를 넣어놨습니다. 제 글씨가 안 좋아도 이해해 주세요. 그리고 잘 모르시겠다면, 에 피타고라스의 정리 증명을 찾으시면 됩니다.

그리고, 여기서 심화 내용을 하자면, 중학교 2-2에서는 자연수를 이용한 문제만 나오는데, 자연수가 아닐 수도 있습니다. 이게 무슨 말이냐 하면, 루트라는 제곱근 기호를 써서 자연수가 아닌 삼각형의 길이도 구할 수 있다는 것입니다. 여기서 제곱 근을 모르실 것 같은데 간단히 예시를 들겠습니다. 예를 들어, 루트 4는 2입니다. 왜냐하면, 2를 제곱하면 4가 되기 때문이죠. 이런 개념을 알면, 내신에 도움이 많이 됩니다. 더 알고 싶으시거나 이해 안 되면 질문해 주세요.

3단원에서는 도형의 3심과 도형의 합동, 닮음이 나옵니다. 여기서 3심이 무엇이냐고 물으실 수 있는데, 이따가 설명해드리겠습니다.

먼저 도형의 3 심은 외심, 내심, 무게 중심으로 구성되어 있습니다. 각각의 개념을 설명하자면, 내심은 삼각형의 세 변과 접해있는 내부의 원의 중심이고, 외심은 삼각형의 세 꼭짓점을 지나는 외부의 원의 중심이고, 무게 중심은 말 그대로 삼각형의 무게의 중심입니다.

이제 각각의 성질에 대해 알아보자면,

내심: 세 꼭짓점의 이등분 선들을 이으면 내심이 된다. 내심에서 각 선분에 수선을 내리면 그 길이가 같다.

외심: 외심에서 각 선분에 수직선을 내리면, 그 수직선은 각 변을 수직 이등분한다.

무게 중심: 세 중선(한 꼭짓점에서 내린 중선은 그 대변을 이등분한다. 자세한 내용은 검색해 주세요.)의 교점이다. 무게 중심을 지남으로서 나눠진 중선의 길이의 비는 2:1이다.

그리고 위 3심 말고도 심이 하나 더 있는데, 바로 수심입니다. 수심은 삼각형의 수선의 교점인데, 자세한 건 파일에 올려두었습니다.

두 번째로, 삼각형의 합동과 닮음을 동시에 알아보겠습니다.

삼각형의 합동은 크게 3가지가 있습니다. 바로 SSS 합동, SAS 합동, ASA 합동이 있습니다.

우선, SSS 합동은 두 삼각형의 세변의 길이가 모두 같을 때 성립합니다. SAS 합동은 두 삼각형의 두변의 길이와, 그 사이에 있는 각의 크기가 같으면 성립합니다. 마지막으로, ASA 합동은 두 삼각형의 두 각의 크기와 한 변의 길이가 같을 때 성립합니다. 또한, 합동기호는,

라고 표시합니다.

이제, 닮음에 대해 알아보겠습니다. 닮음의 종류는 합동의 종류랑 비슷합니다. 하지만, 합동은 변의 길이가 같았어야 했지만, 닮음은, 변의 길이의 비가 같아야 합니다.

닮음의 종류는 앞에 나왔던 SSS와 SAS, 그리고 거기에 새로 추가된 AA 닮음이 있습니다. SSS와 SAS는 앞에서 다룬 내용이랑 같고, AA 닮음은, 두 삼각형의 두 각의 크기가 같을 때 성립합니다.

추가로, 하나 말씀드리자면, 3심이 나오거나, 삼각형의 변의 길이의 비를 물어보는 문제가 나오면, 체바정리와 메넬라오스 정리를 쓰시는 걸 추천드립니다. 이 정리에 관한 설명은 제가 주소 달아놓겠습니다.

개념 중2 경시 3 메넬라우스의 정리 - YouTube, 개념 중2 경시 2 체바의 정리 - YouTube

4단원에는 경우의 수와 확률이 나옵니다. 이 단원은 고등수학 하에서 순열과 수열과 연결된 내용입니다. 그러므로, 단도 직입적으로 고등수학에 나오는 내용을 알려드리겠습니다.

순열과 수열을 할 때 기본이 되는 것은 '!'입니다. 느낌표처럼 생긴 이 기호는 팩토리얼이라고 하며 n!는

이라고 표시를 합니다. 그리고, 자연수 n, m이 있으면 n! 을 m!으로 나누는 것이 가능합니다. 예를 들면:

​

이제 기본적인 설명을 마쳤으니 본격적인 개념을 공부하겠습니다.

서로 다른 n 개의 원소 중에서 r 개의 원소를 뽑아서 그걸 배열하는 경우엔

로 나타내며 계산은

이렇게 합니다.

​

그리고 서로 다른 원소 n 개에서 r 개를 뽑기만 하는 경우엔

로 나타내며,

로 계산합니다.

​

그리고 여기서 좀 더 추가된 개념을 열거하자면, 동자 순열이 있습니다. 동자 순열은 최단 경로 찾는 문제, 같은 문자가 있는 문제 등, 여러 곳에서 쓰일 수 있습니다. 개념을 설명하자면, 동자 순열은 같은 원소가 있을 때 문자들을 배열하는 방법입니다.

만약 n 개의 원소 중에서 똑같은 원소가 각 원소별로 r 개, p 개, q 개 가 동일한 원소면,

로 나타낼 수 있습니다.

​

만약, 흰색 공 3개, 검은색 공 3개, 청색 공 2개를 일려로 배열하는 경우의 수를 구하면,

으로 계산하면 됩니다.

​

그리고 여기서 확률을 구하는 방법은 안 알려 드렸는데, 그 이유는 그냥 경우의수 구하는 공식에다가 확률만 대입하면 되기 때문입니다.

여기 안 적혀 있는 내용들은 대부분 딱히 중요한 내용이 없어서 표시를 안 한 것입니다. 혹시 그럼에도 궁금하신 부분이 있다면 질문해 주십시오. 답변해드리겠습니다.