확률
다른 표기 언어 probability , 確率 동의어 수학 확률
요약
우연하게 생기는 일에 대해 그것이 일어날 가능성의 크기를 나타내는 수치를 확률이라 한다. 동전던지기에서 동전이 비뚤어지지만 않는다면 앞이 나올 확률과 뒤가 나올 확률은 같다고 할 수 있다. 이때 앞이 나오는 것과 뒤가 나오는 것을 각각 하나의 사건이라고 하는데, 이들 사건의 확률은 각각 1/2이다.
수학으로서 확률론의 기원은 16, 17세기 프랑스의 B. 파스칼과 P. 페르마의 게임에 대한 고찰과, 게임 이론에 대해 책을 쓴 네덜란드의 C. 호이헨스 등으로 거슬러 올라간다. 같은 시기에 영국의 J. 그랜트에 의한 생명표 작성 같은 통계적 연구도 확률론의 발생을 촉진시켰다. 이어서 18세기 들어 야코프 베르누이의 유고를 조카인 니콜라우스가 정리해 〈추측법〉으로 출판했는데 여기에 순열·조합을 이용한 확률이야기가 나온다.
목차
접기-
개요
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정의
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시행
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조건부 확률
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순열과 조합
개요
동전을 던져 앞면이 나오거나 뒷면이 나오는 경우는 같은 정도로 기대할 수 있고, 내일은 거의 비가 오지 않을 것이라거나 올 것이라는 등으로 예측하기도 한다.
이렇게 우연하게 생기는 일에 대해 그것이 일어날 가능성의 크기를 나타내는 수치를 확률이라 한다. 실제로 존재하는 구체적인 현상에서는, 우연히 일어나는 사실에 다른 여러 가지 요인이 얽혀 복잡해지기 때문에 이상적인 모델을 상정하고 생각하게 된다. 확률의 개념이 수학 속에 정착된 역사는 짧지만, 확률론은 수학의 다른 분야나 물리학을 비롯한 여러 자연과학 분야들과 서로 밀접하게 관련되면서 급속하게 발전되었다.
수학으로서 확률론의 기원은 16, 17세기 프랑스의 B. 파스칼과 P. 페르마의 게임에 대한 고찰과, 게임 이론에 대해 책을 쓴 네덜란드의 C. 호이헨스 등으로 거슬러 올라간다.
같은 시기에 영국의 J. 그랜트에 의한 생명표 작성 같은 통계적 연구도 확률론의 발생을 촉진시켰다. 이어서 18세기 들어 야코프 베르누이의 유고를 조카인 니콜라우스가 정리해 〈추측법 Ars Conjectandi〉(1713)으로 출판했는데 여기에 순열·조합을 이용한 확률이야기가 나온다.
정의
먼저 간단한 예를 들어보자. 가령 동전던지기에서 동전이 비뚤어지지만 않는다면 앞이 나올 확률과 뒤가 나올 확률은 같다고 할 수 있다.
이때 앞이 나오는 것과 뒤가 나오는 것을 각각 하나의 사건이라고 하는데, 이들 사건의 확률은 각각 1/2이다. 다른 예를 들어보자. 각각 a, b, c, d의 글자가 씌어진 같은 모양의 판이 4장 있다. 이것들을 일렬로 나열할 때 나열하는 조작은 우연현상이라고 할 수 있다. 나열하는 방식은 전부 4!=4×3×2×1=24종류가 있으므로 특정한 나열방식, 가령 a, b, c, d순으로 나열될 확률은 1/24이다.
또 a가 맨 앞에 나열되는 경우는 3!=6가지이므로 이같은 사건의 확률은 6/24=1/4이 된다. 마찬가지로 b, c 또는 d가 맨 처음 나열될 확률도 모두 1/4이다.
이러한 예에서처럼 전체 n가지의 가능성이 있고 어느 것이나 같은 정도로 기대할 수 있다고 하자. 이때 지정된 조건에 맞는 경우가 m가지라면, 이 조건이 충족되는 확률 p는 p=m/n이라고 정의할 수 있다.
여기서 n가지 개개의 경우를 기본사건이라고 부르고 몇 개의 기본사건이 모인 집합을 사건이라고 한다. 한 사건이 m개의 기본사건으로 되어 있을 때 이 사건의 확률은 앞서 말한 p=m/n이 된다. 수학적으로 좀더 엄밀하게 정의하려면, 1933년 소련의 A. N. 콜모고로프가 제창한 공리계를 따른다.
기본사건을 w 등으로 표시하고 이들 전체의 집합을 Ω라고 하자. 취급하고 싶은 사건(Ω의 부분집합)의 집합을 B로 표시할 때 이B는 전체사건 Ω를 포함하고 가산합집합과 여집합을 취하는 연산에 대해 닫혀 있어야 한다.
즉 B에 속한 사건 A1, A2……가 있으면 그 가산합사건 A1∪A2∪……도 B의 원소가 되어야 하고 B에 속한 어떠한 사건 A에 대해서도 그 여집합 A=Ω-A도 B에 속해야 한다.
A는 사건 A의 여사건이라고 한다.
또 ① B의 각 사건 A에 대해 그의 확률인 수 P(A)가 대응하여 0P(A)
1이고, ② 전사건 Ω는 P(Ω)=1이며, ③ P는 가산가법성을 만족한다.
즉 사건 A, B의 공통집합이 공집합일 때 이들 둘은 배반사건이라 하는데, 배반사건의 열 A1, A2,……가 주어졌다고 하면 이들의 가산합사건 A=A1∪A2∪……의 확률은 각 사건 확률의 합과 같다. 수식으로 쓰면
P(A)=P(A1)+P(A2)+……
이다.
이러한 성질을 가진 조(Ω, B, P)를 확률공간이라고 한다. 여기서 P는 해석학에서 측도라고 부르는 것과 같은데 특별히 P(Ω)=1이다. 주사위를 2개 던지는 예를 들어보자. 눈이 나오는 가지수는 6×6=36가지가 있는데 나온 가지 수의 순서쌍을 (1, 1), (1, 2), ……, (2, 1), (2, 2), ……, (6, 6)이라고 적었을 때 이들 각각을 기본사건이라고 한다. 전체를 Ω로 하고 B는 Ω의 부분집합 전체로 구성된 가장 상세한 것을 취한다.
사건 A(∈B)의 확률은 P(A)=#(A)/36로 한다. 여기서 #(A)는 A에 포함되는 기본사건의 개수를 나타낸다. 예를 들어 나온 눈의 합이 4가 되는 사건은 (1, 3), (2, 2), (3, 1)이며, 그 확률은 3/36=1/12이다.
이 예에서 첫째 주사위에 나오는 눈이 1인 사건 A는 (1, 1), (1, 2), ……, (1, 6)이며 2번째 주사위에 나온 눈이 3인 사건 B는 (1, 3), (2, 3), ……, (6, 3)이다.
A∩B는 단 하나의 기본사건 (1, 3)으로 그 확률은 1/36이다. P(A)=P(B)=6/36=1/6에 주의하면 다음과 같은 등식이 성립한다.
P(A∩B)=P(A)P(B)
이 경우 A와 B는 독립이라고 한다.
여러 개의 사건 A1, A2, ……가 있을 때, 이들로부터 몇 개를 마음대로 고른 Ai,Aj, ……, Ak에 대하여 항상
P(Ai∩Aj ∩ …… ∩Ak)
=P(Ai) P(Aj) …… P(Ak)
가 성립하면 원래의 사건계는 독립이라고 한다.
시행
주사위를 던지는 경우에서와 같이 결과는 우연하고 배반사건의 열 A1, A2, ……가 있어서 이들 중 어느 1가지가 반드시 일어날 때, 즉 P(A1)+P(A2)+……=1일 때 이러한 행위를 시행이라고 한다.
2개의 시행을 각각 T1, T2라고 쓰고 이들 둘에는 각각 배반사건의 열 A1, A2, ……와 B1, B2, ……가 있다고 하자.
만약 임의로 고른 Ai와Bj가 독립이라면, 즉 P(Ai∩Bj)=P(Ai)P(Bj)라면 시행 T1과 T2는 독립이라고 한다.
예를 들면 주사위나 동전을 2번 던지는 경우가 여기에 해당된다. 독립된 시행은 몇 번이라도 반복할 수 있다. 특히 매번 똑같이 시행되고 2가지 실현가능성밖에 없을 때 이를 베르누이 시행이라고 한다. 대응하는 배반사건은 2가지, A1과 A2(A)뿐이다.
이들을 각각 성공·실패라고 하며 확률은 각각 P와 q(=1-p)로 나타내는 경우가 많다.
조건부 확률
2가지 사건 A, B가 있을 때, 이들 둘은 다음 4가지로 생각할 수 있다.
① A와 B가 일어난다.
② A가 일어나고 B는 일어나지 않는다. ③ A는 일어나지 않고 B가 일어난다. ④ A도 B도 일어나지 않는다. 여사건 Ac, Bc를 사용해서 위의 각 경우를 사건으로 나타내면, 각각 ① A∩B, ② A∩Bc, ③ Ac∩B, ④ Ac∩Bc이 된다.
A가 일어났을 경우를 가정해 보면 가능성이 있는 것은 ①과 ②의 경우뿐이다. 관점을 바꾸어 A를 전체사건이라고 생각하면 여기서 B와 Bc이 차지하는 비율은 각각 P(A∩B)와 P(A∩Bc)에 비례하기 때문에 전체사건의 확률을 1로 하면, A가 일어났을 때 B, Bc의 조건부 확률은,
PA(B)=P(A∩B)/P(A),
PA(Bc)=P(A∩Bc)/P(A)
이다(당연히 P(A)=0일 때는 제외). 기호 PA(B)는 P(B/A)라고도 쓰며 이 기호를 이용하면 A와 B가 일어날 확률, 즉 P(A∩B)는 P(A)PA(B)와 같다.
3가지 사건 A, B, C가 있을 때 PA(B), PB(C)등과 A와 B가 일어났을 때 C의 조건부 확률 PA∩B(C)=P(A∩B∩C)/P(A∩B)등을 정의할 수 있다.
예를 들어 항아리 속에 같은 크기를 지닌 공이 40개 들어 있다고 하자. 이중 14개는 빨간색이고 26개는 파란색이다. 또 이들 공은 무거운 것과 가벼운 것 2가지 중 1가지 재질로 되어 있으며 빨간 공은 8개가, 파란 공은 10개가 무겁다.
항아리는 암실 속에 있고 손으로 무거운 공 하나를 집어냈을 때, 이것이 빨간 공일 확률은 (빨갛고 무거울 확률)/(무거운 확률)=(8/40)/(18/40)=4/9이다.
또 밝은 곳에서 공을 만지지 않고 빨간 공을 하나 골랐을 때 이것이 무거운 공일 확률은(빨갛고 무거울 확률)/(빨간 공일 확률)=(8/40)/(14/40)=4/7이다. 이들 확률은 40개의 기본사건으로 된 확률공간에서 각각 무거운 공을 골랐거나, 빨간 공을 골랐다는 조건하에서 빨간 공이나 무거운 공이 선택되는 조건부 확률이다. 배반사건의 열 H1, H2, ……, Hn이 있고 그 합을 전체사건이라고 하자. 임의의 사건 A에 대해 관계식 P(A)=P(A∩H1)+P(A∩H2)+……+P(A∩Hn)과 P(A∩Hi)=P(A)P(Hi/A)=P(Hi)P(A/Hi)를 이용해 P(A∩Hi)/P(A)를 다시 쓰면,
을 얻을 수 있다.
이것을 베이스의 정리라고 한다.
조건부 확률의 특별한 경우로서 사건 A와 B가 독립인 경우 PA(B)를 생각해보자. P(A∩B)=P(A)P(B)이므로, PA(B)=P(B)가 되며, 마찬가지로 PB(A)=P(A)도 성립한다.
3가지 사건 A, B, C가 독립일 때, PA∩B(C)=P(C), PB∩C(A)=P(A), PC∩A(B)=P(B)가 성립한다.
또PA(B)=P(B)이므로 P(A∩B∩C)=P(A)P(B)P(C)가 성립하며 독립성을 정의한 식과 일치한다.
여기서 다음과 같은 합사건에 대한 공식도 나온다.
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(B∩C)-P(C∩A)+P(A∩B∩C)
이것은 그림에서 쉽게 알 수 있다.
순열과 조합
유한개의 기본사건으로 된 경우, 사건의 확률을 구하는 문제는 순열과 조합의 수를 세는 것에 귀착되는 경우가 많다. 앞에서 든 4개의 문자를 나열하는 예에서 어느 나열방식이나 같은 정도로 일어나기 쉽다고 했기 때문에 문제의 조건에 맞는 나열방식이 몇 가지인가 하는 것은 순열의 문제가 된다.
이것은 문자 개수가 늘어도 마찬가지이며 기본적인 계산에는 서로 다른 n개에서 r개를 취해 일렬로 나열하는 방법은 모두nPr=n(n-1)(n-2)……(n-r+1)=n!/(n-r)!개만큼 있다는 것을 이용한다.
1회 시행하여 성공할 확률이 p(0〈p〈1)인 베르누이 시행을 n회 반복한다고 하자. n회 중 k회 성공(따라서 n-k회 실패)할 가능성은 얼마인가? 이는 성공한 k회가 어느 시행이었는지 그 경과를 지정하는 방법의 수에 달려 있다. 그것은 n개에서 k개를 취하는 조합의 수 nCk=nPk/K!과 같다.
그리고 각각의 확률은 독립된 시행 결과이므로 pkqn─k이다(q=1-p). 따라서 k회 성공할 확률은 조합을 이용하면 nCkPkqn-k임을 알 수 있다.