해석기하학

중요한 점은 해석기하학이 기하곡선과 대수방정식을 연관시킨다는 것이다. 이 관계로 기하문제를 동등한 대수문제로 다시 만들 수 있고 그 역도 마찬가지이다. 즉 한쪽 방법이 다른 쪽 문제를 푸는 데 이용될 수 있다.

고대의 많은 수학자들은 도형의 기하학이 수의 대수학과 관계가 있다고 생각했다.

그러나 그리스인들조차 발달된 대수기호 및 과정 때문에 제한을 받았고 수학에 대한 시야가 실제 세계의 표현에 묶여 있었다. 예를들면 그리스인들은 수를 선분으로, 두 수의 곱을 면적으로, 세 수의 곱을 부피로 생각했다. 길이·면적·부피는 물리세계가 갖는 유일한 3가지 기하 측정량이므로 그들은 y=x⁴ 같은 대수관계식과 동등한 기하 표현을 생각할 수 없었다. 대수학이 더 복잡하고 유용한 과목이 되고 수학이 물리세계의 관계에만 의존하지 않게 되었을 때 비로소 대수와 기하 사이에 다양한 조화의 가능성이 생겼다.

해석기하학은 17세기 프랑스의 R. 데카르트와 P. 드 페르마에 의해 형성되었다. 이들은 독자적으로 실수의 순서쌍과 평면의 교차하는 두 직선, 즉 좌표축으로부터 한 점까지 이르는 거리들과의 관계를 설명했다. 축이 정해지면 모든 점은 실수 순서쌍 (x, y)로 유일하게 표현되고, 거꾸로 실수의 모든 순서쌍은 오직 한 점을 나타낸다.

근대 해석기하학은 서로 직교하는 축을 택한다. 이 좌표계와 좌표 (x, y)를 데카르트의 이름을 빌려 데카르트 좌표라고 한다. 평면 위의 점과 실수의 순서쌍 사이에 갖는 관계는 쉽게 3차원 공간의 점과 3차원 데카르트 좌표계를 이용한 실수의 3개로 된 순서쌍 (x, y, z)로 확장할 수 있다. 이로써 원하는 크기의 실수 순서집합을 이용할 수 있다. 이와 같이 수학자들은 3차원 이상의 공간이 실제 세계에 존재하지는 않아도 해석기하학적 방법으로 그런 공간의 이론 특성을 연구할 수 있다. 데카르트와 페르마에 의해 발달한 좌표계가 유일한 것은 아니다. 다른 것으로 가장 유용한 것은 I. 뉴턴 경이 개발한 극좌표계이다. 이 좌표계에서 평면 안의 한 점 A는 기준점 O로부터 떨어진 거리 r과 사선 OA와 기준방향선 사이의 각 θ, 즉 순서쌍 (r, θ)가 극좌표의 한 점을 나타낸다. 어떤 곡선은 데카르트 좌표계에서보다 극좌표계에서 훨씬 더 간단하게 표현된다. 로그나 사선이 한 예이다. 데카르트 좌표에서 이 곡선의 식은 임의의 상수 a에 대해

이지만, 극좌표에서는 훨씬 간단한 r=a^θ이다.