함언
다른 표기 언어 implication , 含言요약 한 명제가 다른 명제의 논리적 귀결일 때, 이 두 명제 사이에 성립하는 관계를 가리키는 논리학 용어.
대부분의 형식논리체계에서는 실질 함언(material implication)이라고 부르는 더 넓은 관계를 사용한다. 실질 함언은 A⊃B 또는 A→B로 표시하며 'A이면 B이다'로 읽는다. 이때 복합명제 A⊃B의 진리값은 명제 A와 B가 지니는 각각의 의미들 사이에서 맺어지는 관계에 의존하지 않고 A와 B의 진리값에만 의존한다.
A⊃B는 A가 참이고 B가 거짓일 때에만 거짓이고 그외의 경우는 모두 참이다. 그래서 A⊃B를 이와 같은 진리값을 갖는 ~(A·~B)나~A∨B로 정의하기도 한다(여기에서 ~는 '아니다'를, ·은 '그리고'를, ∨는 '또는'을 의미함). '⊃'에 대한 이러한 해석은 이른바 실질 함언의 역설을 낳는다. 예를 들어 '잔디는 붉다⊃얼음은 차다'라는 복합명제는 '잔디는 붉다'가 거짓이고 '얼음은 차다'가 참이므로 '⊃'의 정의에 따라 참인 명제가 된다.
개념적 직관주의자로 알려진 C. I. 루이스는 직관적인 함언 관념에 더욱 가까운 형식적 관계를 구성하기 위해 1932년에 엄밀함언 개념을 도입했다. 그는 엄밀 함언을 ~◇(A·~B)로 정의했는데, 이때 '◇'은 '가능함' 또는 '자체모순적이지 않음'을 의미한다. 그러므로 A가 B를 엄밀함언한다는 것은 A가 참이고 동시에 ~B가 참일 수는 없다는 뜻이다. 함언에 대한 이러한 개념은 명제들의 진리값에만 의존하지 않고 그 명제들의 의미를 기초로 하고 있다.
마지막으로 직관주의 수학이나 논리학에서 사용하는 원초적 함언 형태가 있다. 원초적 함언은 다른 기초 연결어로 정의되지 않는다. 이에 따르면 A⊃B는 A의 증명과 결합하여 B의 증명을 산출하는 증명 방식이 있을 경우 참이 된다.→ 연역, 추론