집합론

이 이론은 일상경험에 직접 응용하기 보다는 복잡하고 정교한 수학개념을 정의하기 위한 정확하고 융통성 있는 전문용어의 근거로서 더 가치가 있다.

집합은 유한이거나 무한이다. 유한집합은 일정한 수의 원소를 갖는데, 예를 들면 1에서 1,000까지의 모든 정수나 정해진 노선에 있는 모든 버스 정류장 등이 있다. 무한집합은 원소의 개수가 끝이 없는데, 예를 들면 모든 양의 정수나 주어진 선분 위의 모든 점 등이 있다. 집합은 중괄호({ }) 안에 원소를 나열해서 표현하는데, 1, 2, 3을 원소로 갖는 집합 A는 A〓{1, 2, 3}으로 표현한다.

원소가 없는 집합은 공집합(空集合)이라 하고, Ø로 표시한다. 집합 연산에는 합집합(기호로는 ∪)과 교집합(기호로는 ∩)이 있다. 두 집합의 합집합은 두 집합의 모든 원소를 포함하는 집합이며, 교집합은 두 집합에서 공통원소만을 포함한다. 즉 A〓{1, 2, 3}, B〓{3, 4, 5}이면, A∪B〓{1, 2, 3, 4, 5}, A∩B〓{3}이다.

집합 사이에는 여러 가지 관계가 있다.

대등한(equivalent) 집합은 원소의 수가 서로 같은데, A〓{j,k,l,m}, B〓{1, 2, 3, 4}이면 'A는 B와 대등하다'라고 하며,'A~B'로 표시한다. 반면에 동일(equal) 집합은 원소가 서로 같은데, A〓{o, p, q}, B〓{p, q, o}이면 'A는 B와 상등하다'라고 하며, A〓B로 표시한다.

한 집합의 모든 원소가 다른 집합의 원소라면 첫번째 집합은 2번째 집합의 부분집합(기호로는 ⊂)이라고 하는데, A〓{1, 2, 3}, B〓{1,2,3,4,5}이면 A⊂B이다.

서로소(disjoint)인 집합들은 공통원소가 없다. 더 큰 집합 B에 대한 집합 A의 여(餘)집합은 A의 원소가 없는 B의 모든 원소들을 포함하며, A^c로 표기한다. B가 모든 양의 정수 집합이고 A가 모든 양의 짝수이면, A^c는 모든 양의 홀수가 된다. 집합론의 가치는 수학과 논리에서 어려운 개념을 분석할 때 유용성에 있다.

그러나 집합의 직관적 개념은 수의 직관적 개념보다 더 오래되었을 것이다. 예를 들면 한 무리의 동물은 실제로 세지 않고 자루 속의 돌이나 막대기에 새긴 눈금으로 짝지을 수 있다. 수학이 발전함에 따라 전문가들이 집합 개념을 사용하기 시작했지만, 19세기 조지 불과 게오르크 칸토어가 기호논리와 정수론 문제의 분석에 집합을 명확히 서술하는 것이 가치가 있다는 것을 발견할 때까지는 비공식적일 뿐이었다.

오늘날 집합론의 아버지라고 불리는 칸토어는 초한수(超限數)의 일반이론을 발전시켰다.

그는 대담하게 실제 무한, 즉 수나 유한집합과 동등한 수학적 대상으로서 무한집합의 존재를 명확히 주장함으로써 수학의 철학적 기초에 일대 혁명을 일으켰다. 칸토어는 자신의 이론을 세울 때 그의 추론이 어떤 가정을 바탕으로 했지만 그 근거로서 특정 공리를 공표하지는 않았다. 집합론에 대해 명확히 서술된 첫번째 공리는 1900년경 버트런드 러셀과 다른 사람들이 지적한 것처럼 논리적 모순을 낳았다.

이 불완전한 점을 해결하기 위해 현대 집합론의 기초를 이루는 2가지 대안이 나왔다. 첫번째는 1908년 에른스트 체르멜로가 시작하여 1920년대 초반에 아브라함 프랜켈과 트랄프 스콜렘이 발전시켰다. 2번째는 1920년대 후반 존 폰 노이만이 고안하여 나중에 폴 베르네이와 쿠르트 괴델이 수정했다. 이 둘 모두는 이전의 집합론들이 골치를 앓던 역설을 없앴지만, 그 어느 것도 모든 수학에 대한 완전한 기초를 주려던 그 제창자의 목표에는 도달하지 못했다.