불대수

이 체계의 기본규칙은 1847년 영국의 조지 불이 공식화한 뒤 다른 수학자들에 의해 다듬어졌으며, 집합론에 응용되었다. 오늘날 불 대수는 확률론, 집합의 기하학, 정보론에서 중요하다. 더욱이 전자식 디지털 컴퓨터에 사용되는 회로설계의 기초가 된다.

불 대수에서 원소들의 집합은 여러 가지 공준들의 계의 어떤 것에 의해서도 묘사될 수 있는 두 가환이항연산에 대해 닫혀 있다. 그 공준들은 각 연산에 대해 항등원이 존재하고, 각 연산은 다른 연산에 대해 분배법칙이 성립하며, 집합의 모든 원소에 대해 각 연산의 역원이 존재한다는 기본공준으로부터 연역된다. 보통의 대수(즉 원소는 실수이고 두 가환이항연산이 덧셈과 곱셈인 대수)는 불 대수의 모든 요구조건을 만족하지 않는다.

실수집합은 두 연산에 대해 닫혀 있고(즉 두 실수의 합이나 곱은 실수임), 덧셈에 대한 항등원 0과 곱셈에 대한 항등원 1이 존재하며(즉 모든 실수 a에 대해 a＋0=a, a×1=a임), 덧셈에 대한 곱셈의 분배법칙이 성립한다[즉 a×(b＋c)=(a×b)＋(a×c)]. 그러나 곱셈에 대한 덧셈의 분배법칙은 성립하지 않는다[즉 a＋(b×c)≠(a＋b)×(a＋c)].

불 대수의 이점은 진리값(즉 주어진 명제나 논리명제의 참 또는 거짓)들을 보통의 대수에서 쓰는 수량 대신 변수로서 사용할 때 유효하다는 것이다. 그것은 참(진리값은 1)이거나 거짓(진리값은 0)인 명제들을 다룰 때 적합하다. 이러한 두 명제는 논리접속사, 즉 연산자 '그리고'(and)나 '또는'(or)으로 결합되어 복합명제가 만들어진다(이 두 접속사의 표준기호는 각각 '∧'와 '∨'임). 복합명제의 진리값은 원소와 사용된 접속사에 따라 달라진다. 예를 들어 명제 a와 b는 서로에 무관하게 참 또는 거짓일 때, and로 연결된 명제 a∧b는 a와 b 모두가 참일 때만 참이고 다른 경우는 거짓이다.