공간군

공간군(space group)은 공간에서 정의되는 기하학적 구조의 대칭성을 표현하는 군이다. 3차원에는 219개 공간군이 존재하고, 카이랄 구조까지 포함하면 230개 공간군이 있으며, 결정의 구조를 분석할 때 유용하게 사용된다. 이 공간군들은 국제결정학연맹(International Union of Crystallography)에서 발간하는 국제결정학표(International Tables for Crystallography)에 정리되어 있다.¹⁾ 결정을 구성하는 분자의 대칭성을 분석할 때는 공간군에서 공간 이동 요소를 제외한 32개 점군(point group)을 이용해서 분석한다.

그림 1. 육각 대칭 구조인 얼음(H₂O).()

그림 1은 육각 대칭 구조를 가진 얼음(H₂O)의 결정 구조를 나타낸 것이다. 빨간색 공은 산소 원자이며 수소 원자는 표시하지 않았다. 수소 원자의 위치는 결정 구조의 잔류 엔트로피(residual entropy)에 기여한다. 그림 1(a)의 거울 면(mirror plane)은 c 축에 수직이다. 그림 1(b)에 나와 있듯이, c 축에 평행인 거울 면도 있다. 그림 1(c)는 공간 이동 요소인 미끄럼 면(glide plane)을 보여준다. 그림에서 정육면체는 단위 세포이다.

흔히 결정의 공간군을 결정하기 위해서는 결정의 구조를 단계 분류한다. 결정 구조에 소개되어 있듯이, 먼저 결정의 구조를 7가지 기본 결정계(lattice system)²⁾로 구분한다. 그다음에 격자점의 위치에 따라 14가지 브라베 격자(Bravais lattice)로 구분한다.³⁾ 3차원 공간군은 14가지 브라베 격자와 32가지 결정 점군(crystallographic point group), 3가지 공간 이동 요소의 결합으로 만들어진다. 아래에서는 공간 이동 요소와 공간군 표기에 관하여 살펴본다.

목차

공간 이동 요소에는 병진 대칭(translational symmetry), 나사형 축(screw axis), 미끄럼 면(glide plane)이 있다.

그림 2에서처럼 기하학적 구조를 회전시키지 않고 공간적으로 이동시키는 것이 병진 대칭이다. 수학적으로는 그림 1에 나와 있는 것처럼 병진 불변 함수 관계 f(A)=f(A+t)를 만족하는 대칭 요소를 말한다.

그림 2. 회전 없는 공간적 이동에 해당하는 병진 대칭.()

나사형 축 대칭 요소는 어떤 축 주위로 회전한 후 그 축 방향으로 병진시켰을 때 나타나는 대칭성을 말한다. 회전 각도에 따라 숫자 n을 사용하여 표시한다. 예컨대 3은 2π/3 만큼 회전함을 의미한다. 병진 정도는 아래 첨자로 표시한다. 그래서 2₁은 180^o 회전한 후 축을 따라 격자 벡터의 1/2만큼 병진한다는 의미이다.

그림 3. 3₁ 나사형축을 가진 텔루륨(Te) 결정 구조.()

어떤 평면에 반사한 후 그 평면에 평형하게 병진시키는 대칭 요소를 말한다. 미끄럼이 일어나는 축, 면의 대각선의 절반만큼 일어나는 미끄럼(n 미끄럼), 단위 세포의 면이나 공간 대각선의 1/2만큼 일어나는 미끄럼(d 미끄럼) 등으로 구분한다. d 미끄럼은 다이아몬드 결정 구조에서 나타나기 때문에 다이아몬드 미끄럼면이라고 부른다.

그림 4. 미끄럼면 (저작권).()

공간군 표기법과 이름은 매우 다양하다. 가장 단순한 방법은 번호를 사용하는 것이다. 국제결정학연맹에서 펴내는 공간군 표(국제결정학표)에는 각 공간군에 1부터 230까지 번호를 부여하였다. 이 번호는 같은 결정계, 점군에서 속하는 공간군들이 계속 이어져 있다는 점을 제외하면 임의로 부여되어 있다.

국제기호표기법(International symbol notation) 중에서 대표적인 두 가지 표기법을 간략하게 살펴본다.

결정학에서 가장 널리 사용되는 표기법이다. 브라베 격자와 그 공간군에서 중요한 몇 가지 대칭 요소들을 표시한다. 헤르만-모갱 표기법에 따르면, 그림 1에 나와 있는 얼음 구조의 공간군은 P6₃/mmc이다. 첫 번째 알파벳은 브라베 격자를 나타낸다. 여기서 P는 원시 격자(primitive lattice)를 뜻한다. 6₃는 나사형 축 대칭을 나타내고, mmc은 거울 면과 미끄럼 면 대칭을 나타낸다. 헤르만-모갱 표기법은 복잡하지만, 결정학자들에게 편리한 표기법이다.

쇤슬라이스 표기법에서는 공간군에 포함된 점군을 이용한다. 공간군을 쇤플라이스 점군 기호로 나타내기 때문에 같은 점군을 가진 공간군들은 모두 같은 기호로 표기된다. 서로 다른 공간군은 국제 결정학 연맹의 공간군 표에서 부여한 공간군 번호와 같은 순서로 붙인 번호를 이용해서 구분한다. 이 번호는 쇤플라이스 기호에 윗첨자로 표시한다. 예컨대, 점군 C₂를 가진 공간군은 3개가 있고, 국제 결정학 연맹의 공간군 표에서 3~5번이 부여되어 있다. 이 공간군들을 쇤슬라이스 표기법으로 표시하면 @@NAMATH_INLINE@@C_2^1@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@C_2^2@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@C_2^3@@NAMATH_INLINE@@이 된다.

1.
2. 결정계의 우리말 명칭은 완전히 통일되어 있지 않다. 7가지 결정계에는 triclinic(삼사 (결)정계, 삼사축 결정계), monoclinic(단사 결정계, 일사축 결정계), orthorhombic(사방 결정계, 직각 비등축 결정계), tetragonal(정방 결정계, 직각 이등축 결정계부름) trigonal(삼방 결정계, 삼각 결정계), hexagonal(육방 결정계), cubic(등방 결정계, 입방 결정계)이 있다.
3. 7가지 결정계는 격자점의 위치에 따라 원시 격자(primitive lattice, P), 밑면심(base-centered, C) 체심(body-centered, I), 면심(face-centered, F)으로 나뉜다. 7가지 결정계 모두에 P, C, I, F 격자가 있는 것은 아니다.
4.