정상류

시간에 관계없이 지하수위가 일정하며 대수층이 평형상태에 있을 때의 지하수 흐름

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지하수 양수로 인해서 시간에 따라서 지하수위 하강이 발생하면, 지하수 흐름이 부정류 상태로 된다. 자유면대수층의 공극 내에 들어있는 지하수는 양수시간 경과에 따라 수직적인 배수에 의해서 배출되며, 양수정 주위의 지하수면이 하강하게 된다. 따라서 자유면대수층의 유동영역 상부경계는 지하수면과 같고, 지하수위 하강에 따라 포화대의 두께가 감소하고 투수량계수도 작아진다. 자유면대수층내 지하수 흐름의 모식도(그림 1)에서 지하수의 함양이 없다고 가정하면, 왼쪽으로부터 들어오는 유량은 오른쪽으로 빠져나가는 유량과 같다. 다르시의 법칙에 의하면, 왼쪽의 포화대 두께는 h₁이고 오른쪽의 포화대 두께는 h₂로서, 왼쪽보다 오른쪽의 흐름 단면적이 작으므로 동수구배는 더 커져야 한다. 즉, 자유면대수층 내 지하수면의 경사는 흐름 방향 쪽으로 증가하게 된다.

Dupuit(1863)¹⁾의 가정에 의하면, 지하수면의 경사가 작을 때 동수구배는 지하수면 경사와 같고, 유선은 수평이고 등수위선은 수직이다. 그러나 Dupuit의 가정은 흐름 출구쪽(outflow side) 상부의 삼출면(seepage face)을 고려하지 않는다.

그림 1. 자유면대수층내 지하수 흐름의 모식도 (출처: 대한지질학회)

Dupuit의 가정과 Darcy의 법칙을 이용하면, 자유면대수층 내 단위 너비당 정상류 유량, q(L²T^-1)는

@@NAMATH_INLINE@@q=-Kh{dh \over dx}@@NAMATH_INLINE@@

과 같다. 여기서 h는 대수층내 포화대의 두께, dh/dx는 동수구배이다.

x = 0일 때 h = h₁이고, x = L일 때 h = h₂일 때, (1)식을 정적분하면

@@NAMATH_INLINE@@\int_{O}^{L} q \ \ dx = -K\int_{h_1}^{h_2} h \ \ dh@@NAMATH_INLINE@@

@@NAMATH_INLINE@@qx \vert_{ 0 }^{ L } =~-K \frac{ h^{ 2 }}{ 2 } \vert_{ h_{ 1 } }^{ h_{ 2 } }@@NAMATH_INLINE@@

이다. 따라서, 단위 너비당 지하수 유량은

@@NAMATH_INLINE@@q=-{\operatorname 1 \over\operatorname 2} K({{h^2_2-h^2_1} \over L})@@NAMATH_INLINE@@

이 된다. 이 식을 Dupuit식이라 한다.

피압대수층 내 정상류 상태에서 수두경사는 시간에 관계없이 일정하므로, 정상류 식은

@@NAMATH_INLINE@@{\partial^2 h \over \partial x^2}+{\partial^2 h \over \partial y^2}+{\partial^2 h \over \partial z^2} = 0@@NAMATH_INLINE@@과 같으며, 이 식은 Laplace식이다. 피압대수층내 정상류는 수두가 낮아지는 방향으로 흐르며, 수두경사는 직선이다(그림 2). 다르시의 법칙에 따르면, 피압대수층 내 정상류의 단위너비 당 유량 q는

@@NAMATH_INLINE@@q ~=~ - Kb{dh \over dl}@@NAMATH_INLINE@@

이다. 여기서 K는 수리전도도, b는 피압대수층의 두께, dh/dl은 수두경사이다.

그림 2. 피압대수층내 정상류 (출처: 대한지질학회)

1. Dupuit, J., 1863, Etudes Théoriques et Pratiques sur le Mouvement des Eaux dans les Canaux Découverts et à Travers les Terrains Perméables. 2nd ed., Paris, Dunod, 300pp.