정유체평형

그림 1. 정유체평형 도해. 압력차가 있을때 생기는 압력경사력이 중력과 평형을 이루기 위해서는 압력은 높이 올라갈수록 감소해야 하고, 깊이 들어갈수록 증가해야 한다. (출처: 채종철/천문학회)

정유체평형은 중력과 압력경사력(pressure gradient force)이 서로 반대 방향으로 작용하면서 평형을 이루는 유체의 정적 평형 상태이다(그림 1). 영문 용어에 사용되는 hydro는 원래 물을 의미하나 유체라는 뜻으로 의미가 확장되어 사용되는 말이다. 아래로 작용하는 중력장에서 유체가 정적 평형 상태를 유지하려면 압력은 깊이 들어갈수록 증가해야 하고, 높이 올라갈수록 감소해야 한다. 이와 같이 압력이 깊이 혹은 높이에 따라 체계적으로 변하는 양상을 층화(stratification)라고 한다. 항성의 내부, 항성의 대기, 행성의 대기, 지구의 바다는 모두 정유체평형 상태를 이루고 있으며, 층화되어 있다. 정유체평형 상태에 있는 한 점에서의 압력은 그 지점에 놓인 단위면적 위로 층층히 쌓여 있는 모든 물질에 미치는 중력의 합과 같다(그림 2). 일반적으로 항성의 대기 두께는, 중력가속도에 반비례하고, 온도에 비례하는 압력높이척도로 정량화한다.

목차

항성의 중심에서 잰 거리가 @@NAMATH_INLINE@@r@@NAMATH_INLINE@@인 곳에서 중력장(중력가속도)의 세기를 @@NAMATH_INLINE@@g@@NAMATH_INLINE@@, 밀도를 @@NAMATH_INLINE@@\rho@@NAMATH_INLINE@@, 압력을 @@NAMATH_INLINE@@p@@NAMATH_INLINE@@라고 하면, 정유체평형 방정식은

@@NAMATH_DISPLAY@@ \frac{d p}{dr} = - \rho g \qquad (1) @@NAMATH_DISPLAY@@

로 주어진다. 식(1)을 이용하면 정유체평형의 중요한 특징을 파악할 수 있다. 첫째, 압력은 깊이에 따라 증가하고, 높이에 따라 감소한다. 식(1)을 변형하면, 압력이 @@NAMATH_INLINE@@e^{-1}@@NAMATH_INLINE@@ 배로 감소하는 높이차, 곧 압력높이척도(pressure scale height)는

@@NAMATH_DISPLAY@@ H_p \equiv - \frac{ dr }{ d \ln p} = \frac{p}{\rho g} \qquad (2) @@NAMATH_DISPLAY@@

와 같음을 알 수 있다. 항성의 대기에서는 종종 압력높이척도 @@NAMATH_INLINE@@H_p@@NAMATH_INLINE@@가 일정하다고 가정할 수 있다. 이 경우에 압력은 @@NAMATH_INLINE@@p=p_0 \exp(- h/H_p ) @@NAMATH_INLINE@@와 같이 어떤 기준 지점 @@NAMATH_INLINE@@r_0@@NAMATH_INLINE@@에서 잰 높이 @@NAMATH_INLINE@@h \equiv r-r_0@@NAMATH_INLINE@@의 지수함수로 표현된다.

항성의 내부에서는 일반적으로 중력장 @@NAMATH_INLINE@@g@@NAMATH_INLINE@@가 깊이에 따라 변하고, @@NAMATH_INLINE@@p/\rho@@NAMATH_INLINE@@도 깊이에 따라 변하므로 @@NAMATH_INLINE@@H_p@@NAMATH_INLINE@@는 일정하지 않으며, 압력의 깊이에 따른 변화도 지수함수와는 다르다. 그럼에도 불구하고 깊이 들어갈수록 압력이 증가한다는 점은 변함없이 성립한다.

그림 2. 정유체평형을 이루는 유체에서 압력은 단위면적 위에 쌓인 모든 물질에 미치는 중력의 합과 같다. (출처: 채종철/천문학회)

둘째, 어떤 지점에서 압력은 그 지점에 놓인 단위면적 위로 쌓여 있는 물질에 미치는 중력의 합계, 즉 총무게와 같다. 이는 중력장이 일정한 경우에 식(1)을 특정 거리 @@NAMATH_INLINE@@r@@NAMATH_INLINE@@에서부터 @@NAMATH_INLINE@@\infty@@NAMATH_INLINE@@까지 적분하여 얻은 식

@@NAMATH_DISPLAY@@ p(r) = m(r) g \qquad (3) @@NAMATH_DISPLAY@@

을 보면 분명하다. 여기서 기둥밀도 @@NAMATH_INLINE@@m(r) \equiv \int_{r}^\infty \rho d r@@NAMATH_INLINE@@는 밑면의 면적은 단위면적과 같고, 높이는 무한한 기둥의 총질량이다.

항성의 대기에서 압력높이척도는 대기의 두께를 나타내는 척도이다. 대기를 구성하는 기체는 대개 상태방정식

@@NAMATH_DISPLAY@@ p = \frac{\rho k_B T}{\mu m_H} \qquad (4) @@NAMATH_DISPLAY@@

을 만족하는 이상기체로 볼 수 있다. 이 식을 이용하면 식(2)에 있는 압력높이척도는

@@NAMATH_DISPLAY@@ H_p = \frac{k_B T}{\mu m_H g} = 140 \rm{ km} \left( \frac{T}{6000 \rm{ K}} \right) \left( \frac{1.3}{\mu} \right) \left( \frac{27400 \rm{cm s}^{-2}}{g} \right) @@NAMATH_DISPLAY@@

로 다시 쓸 수 있다. 여기서 @@NAMATH_INLINE@@k_B=1.38 \times 10^{-16}@@NAMATH_INLINE@@ erg K@@NAMATH_INLINE@@^{-1}@@NAMATH_INLINE@@는 볼츠만 상수, @@NAMATH_INLINE@@m_H=1.67 \times 10^{-24}@@NAMATH_INLINE@@ g cm@@NAMATH_INLINE@@^{-3}@@NAMATH_INLINE@@은 수소원자 질량, @@NAMATH_INLINE@@\mu@@NAMATH_INLINE@@은 기체의 평균분자량이다. 태양 광구의 값들을 넣으면 압력높이척도가 140 km 가량이 된다. 일반적으로 대기는 온도가 높을수록, 중력장이 약할수록, 분자량이 작을수록 두껍다. 그러므로 온도가 높은 조기형 항성이 온도가 낮은 만기형 항성에 비해, 표면중력이 약한 거성이 중력이 강한 왜성에 비해 대기가 두껍다고 할 수 있다.

대기를 구성하는 기체가 이상기체가 아닌 경우가 종종 있다.이 경우에는 식(1)에 사용하는 압력은 식(4)에 있는 이상기체압이 아니라 총압력이어야 한다. 가령 난류운동이 존재하는 대기에서는 난류압(turbulence pressure)을 더한 총압력을 정유체평형 방정식에 사용해야 하고, 온도가 매우 높은 대기에서는 복사압(radiation pressure)을 더한 총압력을 정유체방정식에 사용해야 한다. 난류압이나 복사압이 추가되면 이상기체압 만을 고려할 때에 비해서 압력높이척도는 커지고, 대기의 두께가 커지는 효과가 있다.