탄성충돌

탄성충돌은 충돌 중 계의 역학적에너지가 보존되는 충돌을 말한다. 충돌 전후 계의 퍼텐셜에너지 변화가 없다면 계의 운동에너지가 변하지 않는다. 흔히 충돌 전후 계의 운동에너지가 변하지 않는 경우 탄성충돌이라고 하는데, 이는 충돌 전과 충돌 후 계의 구성 물체들 사이 거리가 충분히 멀어 계의 퍼텐셜에너지 변화가 없다고 보기 때문이다.

미시적인 입자 사이 충돌의 경우 입자 질량이 변하지 않고, 입자의 소멸이나 생성이 일어나지 않는 한 탄성충돌이라고 할 수 있다. 충돌로 인해 입자가 들뜨거나 하여 질량이 변하는 경우는 탄성충돌이 아니다. 일상생활에서 경험하는 거시적인 물체의 충돌은 계의 운동에너지 일부가 열에너지나 소리 에너지 등 다른 형태의 에너지로 변환되기 때문에 탄성충돌이 아니다. 하지만 계의 운동에너지 변화가 무시할 수 있을 정도로 작은 경우에는 근사적으로 탄성충돌로 볼 수도 있다.

질량이 각각 @@NAMATH_INLINE@@m_1@@NAMATH_INLINE@@, @@NAMATH_INLINE@@m_2@@NAMATH_INLINE@@인 두 물체의 정면충돌을 고려해보자. 충돌 전후 각 물체의 속도를 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{v}_{1i}, \, \mathbf{v}_{1f},\, \mathbf{v}_{2i}, \, \mathbf{v}_{2f}@@NAMATH_INLINE@@라고 하고 속력이 광속에 비해 아주 작다면, 운동량 보존법칙에 따라 @@NAMATH_DISPLAY@@m_1\mathbf{v}_{1i}+m_2\mathbf{v}_{2i}=m_1\mathbf{v}_{1f}+m_2\mathbf{v}_{2f}@@NAMATH_DISPLAY@@가 된다. 탄성충돌의 경우 충돌 전후 계의 운동에너지가 같다고 볼 수 있으므로 @@NAMATH_DISPLAY@@\frac{1}{2}m_1v_{1i}^2+\frac{1}{2}m_2v_{2i}^2=\frac{1}{2}m_1v_{1f}^2+\frac{1}{2}m_2v_{2f}^2@@NAMATH_DISPLAY@@를 만족한다. 두 조건식으로부터 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{v}_{1f}, \,\mathbf{v}_{2f}@@NAMATH_INLINE@@에 대해서 풀면 @@NAMATH_DISPLAY@@\mathbf{v}_{1f}=\frac{(m_1-m_2)\mathbf{v}_{1i}+2m_2\mathbf{v}_{2i}}{m_1+m_2}, \, \mathbf{v}_{2f}=\frac{(m_2-m_1)\mathbf{v}_{2i}+2m_1\mathbf{v}_{1i}}{m_1+m_2}@@NAMATH_DISPLAY@@이 되고, 결과적으로 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{v}_{2f}-\mathbf{v}_{1f}=\mathbf{v}_{1i}-\mathbf{v}_{2i}@@NAMATH_INLINE@@가 되어 충돌 전후 상대속도는 크기가 같고 방향이 반대가 된다.

참고로 계의 총운동량이 0인 기준틀에서 보면 @@NAMATH_INLINE@@m_1\mathbf{v}_{1i}=-m_2\mathbf{v}_{2i},\,m_1\mathbf{v}_{1f}=-m_2\mathbf{v}_{2f}@@NAMATH_INLINE@@이므로, 충돌 전후 상대속도의 관계는 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{v}_{1f}=-\mathbf{v}_{1i}, \, \mathbf{v}_{2f}=-\mathbf{v}_{2i}@@NAMATH_INLINE@@가 된다. 총운동량이 0인 기준틀에서는 탄성충돌 전후 두 물체의 속도가 방향만 바뀌게 된다. 이 는 두 물체의 속력이 광속에 가까운 경우도 성립하는 일반적인 결과다.

질량 @@NAMATH_INLINE@@m_2@@NAMATH_INLINE@@인 물체가 충돌 전 정지 상태인 기준틀에서 보면, 즉 @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{v}_{2i}=0@@NAMATH_INLINE@@이면, @@NAMATH_DISPLAY@@\mathbf{v}_{1f}=\frac{(m_1-m_2)\mathbf{v}_{1i}}{m_1+m_2},\, \mathbf{v}_{2f}=\frac{2m_1\mathbf{v}_{1i}}{m_1+m_2}@@NAMATH_DISPLAY@@의 결과를 얻게 된다. 만일 두 물체의 질량이 같다면, @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{v}_{1f}=0,\,\mathbf{v}_{2f}=\mathbf{v}_{1i}@@NAMATH_INLINE@@가 되어 움직이던 물체는 멈추고 정지 상태의 물체는 충돌 전 움직이던 물체의 속도로 움직이게 된다. 만일 @@NAMATH_INLINE@@m_2\gg m_1@@NAMATH_INLINE@@이면, @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{v}_{1f}\approx -\mathbf{v}_{1i},\,\mathbf{v}_{2f}\approx \frac{2m_1}{m_2} \mathbf{v}_{1i}@@NAMATH_INLINE@@ 가 되어 움직이던 물체는 운동 방향만 바뀌고, 정지 상태 물체는 아주 느리게 움직인다. 비록 충돌 전 정지 상태 물체가 충돌 후 가지는 운동량은 충돌 전 총운동량의 두 배가 되지만, 질량이 커서 운동에너지는 무시할 수 있을 정도로 작다. 만일 @@NAMATH_INLINE@@m_2\ll m_1@@NAMATH_INLINE@@이면, @@NAMATH_INLINE@@\mathbf{v}_{1f}\approx \mathbf{v}_{1i},\,\mathbf{v}_{2f}\approx 2\mathbf{v}_{1i}@@NAMATH_INLINE@@가 되어 움직이던 물체는 거의 그대로 움직이고, 정지 상태 물체가 그 두 배의 속도로 움직이게 된다.